向量线性关系秩

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1、第三章 向量 线性关系 秩向量是线性代数中研究的又一个重要概念, 本章主要讨论n维向量之间的线性关系, 并建立向量组与矩阵秩的概念. 1 向 量定义3.1 所谓n维向量就是n1阶矩阵或1n阶矩阵n 维向量就是n 个有次序的数a1,a2, ,an组成的数组. ai称为向量的第i个分量. 分量全是实数的向量称为实向量.如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等. 注意: 按定义行向量 和列向量 表示同一个向量,但在涉及到运算时,行向量 和列向量总看作两个不同的向量, 而且都按矩阵的运算规则进行运算.分量都是零的向量称为零向量, 记为0. 将向量的分量都改变符号得到的向量, 称为向量的负向量,

2、记为-. 实际常用列向量, 为了便于书写常用其转置T表示. 定义中两种形式分别称为列向量和行向量.常用的向量运算是向量的加法和乘数两种运算, 统称为向量的线性运算, 完全按矩阵运算处理, 所以满足:()交换律：+=+() 结合律: (+)+=+(+)() +0=() +()=0() 1=() 数的分配律： (k+l)=k +l () 矩阵的分配律： k(+)=k +k .() 结合律：(kl)=k(l)所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一个n维线性空间, 或称向量空间.在解析几何中, 曾引进向量的数量积x y=|x|y|cos且在直角坐标系中，有定义3.2

3、 设有n维向量=(a1,a2,an)T, =(b1,b2,bn)T, 令但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念,我们可以按数量积的直角坐标计算公式来推广, 先定义n维向量内积的概念, 反过来定义n维向量的长度和夹角., =a1b1+a2b2+anbn称, 为向量与的内积.内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表示, 当与都是列向量时, 有, 而且, 仅当=0时, , =0.内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):, =T=T。利用这些性质还可以证明Schwarz不等式:下面定义n维向量的长度和夹角。 当|=1时, 称为单位向量.为向量

4、的长度(或范数), 记为|或. 由Schwarz不等式, 对任意非零向量和都有 定义3.3 设n维向量=(a1, a2, , an)T, 称非负实数当0时, 是与同方向的单位向量.可见, , =0, 于是有 为向量和的夹角.定义3.4 对任意非零向量, , 称定义3.5 若, =0, 则称向量与正交.向量与的内积, 也可以表示成：, | cos2 线 性 关 系若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向 量组. 如:mn 矩阵A=(aij)对应n 个m 维列向量向量组1, 2, , n称为A的列向量组. 即A=(1, 2, , n).mn 矩阵A=(aij)也对应m 个n 维行向量 1=

5、(a11, a12, , a1n),2=(a21, a22, , a2n),m=(am1, am2, , amn),向量组1, 2, m, 称为矩阵A的行向量组, 即反之, 由有限个向量组成的向量组也可构成一个矩阵.线性方程组Ax=b也可以用向量表示成:x11+x22+ +xnn= 定义3.6 对向量和向量组: 1, 2, , n, 若存在一组数k1,k2 , ,kn, 使: =k11+k22+ +knn, 则称向量可由向量组1, 2, , n线性表示, 也称向量是向量组1, 2, , n的线性组合. 其中, 1, 2, , n是矩阵A的列向量组, b.例1 设T=(2,1,0,1), 1T=

6、(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=(1, 0, 0, 1), 问能否由向量组1, 2, 3线性表示.解 设 =k11+k22+k33 , 即(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3) 于是有解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223 所以向量可由向量组, 2, 3线性表示. 表示式也可写成 一般地, 对列向量, =k11+k22+kss 可写成 对行向量, =k11+k22+kss 可写成 定义3.7 若存在一组不全为零的数k1,k2 , ,ks, 使:k11+k22+ +kss=0则称向量组1, 2, , s线性相关, 否则称线性无

7、关.只有当k1,k2 , ,ks全为零时才成立.k11+k22+ +kss=0可见向量组1, 2, , s线性无关的充分必要条件是:例2 讨论向量组 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T= (1, 0, 0, 1)的线性相关性.解 设 k11+k22+k33=0 , 即(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性.解 设 k11+k22+k33=0 , 即(k1+2k3, k1+k2+3

8、k3, 2k1k2+3k3)=(0,0,0)解得: k1=2k2=2k3. 比如取k1=2, 则有21+2 3=0 所以1, 2, 3线性相关.显然, 一个向量组成的向量组线性相关=0向量组1,2, ,s线性相关 x11+x22+xss=0有非零解.(称此向量组为n 维标准单位向量组)例4 讨论n 维向量组的线性相关性.解 设k1e1+k2e2+ +knen=0, 即所以, 向量组 e1,e2, ,en线性无关.(k1, k2, ,kn)=0, 所以 k1=k2=kn=0n 维标准单位向量组 e1,e2, ,en是线性无关的, 而且对任意n维向量T=(a1,a2,an), 都有=a1e1+a2

9、e2+anen例5k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0就是 (k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0所以所以向量组1, 2, 3线性无关.解得: k1=k2=k3=0 已知向量组1, 2, 3线性无关, 1=1+2, 2= 2+3, 3=3+1, 讨论向量组1, 2, 3 的线性相关性.解 设 k11+k22+k33=0 , 即定义3.8 一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组. 证 设1, 2, m是正交向量组,有一组数k1, k2, km 使用i与上式两边做内积, 得n维标准单位向量组e1, e2, en就是一个规范

10、正交向量组.定理3.1 正交向量组必线性无关. k11+k22 + +kmm=0由于i0, 所以i, i0, 因此, ki0 (i1, 2,m).ki(i, i )=0所以,向量组1, 2, m线性无关.命题3.2 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量组线性相关.所以有: k11+k22+ +krr+0r+1+ +0s =0推论1 含有零向量的向量组必线性相关.证明 不妨设1,2, ,r, ,s中1,2, ,r线性相关,存在不全为零的数k1,k2 , ,kr, 使: k11+k22+ +krr=0.而k1,k2 , ,kr,0,0不全为零, 所以1,2, ,s线性相关.推论2 线性无关向量

11、组的任一部分组也线性无关.不妨设k10, 则有:证明 必要性: 设1,2, ,s线性相关, 则存在不全为零的数k1,k2 , ,ks, 使: k11+k22+ +kss=0.充分性:不妨设1可由2, ,s线性表示, 即存在一组数k2,ks使: 1=k22+ +kss , 于是有定理3.3 向量组1,2, ,s(s2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可被其余向量线性表示.1+k22+ +kss =0这里1, k2 , ,ks不全为零, 所以1,2, ,s线性相关.两个向量线性相关的几何意义是这两向量共线;三个向量线性相关的几何意义是这三向量共面; n个向量线性相关的几何意义是它们在一个

12、n-1维空间.定理3.4 设向量组1, 2, , r线性无关, 而向量组1, 2, , r, 线性相关, 则可由1, 2, , r线性表示,且表示式唯一.证明 由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , ,kr, l ,使k11+k22+ +krr+l =0若l =0, 则k11+k22+ +krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是若有: =k11+k22+ +krr=l11+l22+ +lrr即, 表示式是唯一的.则有: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ +(krl1)r=0所以: k1 l1=k2 l2= =krl1=0设向量组1, 2, s称为向量组1, 2, , s的加长向量组.前面

13、加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任何位置, 都称为原向量组的加长向量组.定理3.5 线性无关向量组的加长向量组也线性无关.证明 只证明在最后加一个分量的情况, 其它类似.所以有: k11+k22+ +kss=0, 故 k1=k2= =kr=0设 k11+k22+kss=0 , 即所以1, 2, s 线性无关.3 向量组的秩向量组间的等价关系具有下列性质:设有两个向量组分别为:(): 1, 2, , r ; (): 1, 2, s.定义3.9 若向量组()中的每个向量都可以由向量组 ()线性表示, 则称向量组()可由向量组()线性表示; 若向量组()和向量组()可以互相线性表示, 则称向量组()和向量组()等价. ()反身性: 任何向量组都与自身等价;()传递性: 若()与()等价, ()与()等价, 则() 与()也等价.()对称性: 若()与()等价, 则()与()也等价;证 先正交化显然, 列向量组1, 2, ,r可由列向量组1, 2, s线性表示的充分必要条件是: 存在sr矩阵C, 使(1, 2, , r )=(1, 2, s )C定理3.6 如果向量组1, 2, ,m线性无关, 则有规范正交向量组e1, e2, em与之等价. 1 =1, 再将1, 2, m单位化