《中要的数学几何定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中要的数学几何定理（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、余弦定理性质对于任意三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积：三边为 a,b,c 三角为 A,B,C 满足性质(注：a*b、a*c 就是 a乘 b、a 乘 c 。a2、b2、c2 就是 a 的平方， b 的平方， c 的平方。 ) a2=b2+c2-2*b*c*Cos A b2=a2+c2-2*a*c*Cos B c2=a2+b2-2*a*b* Cos C Cos C=(a2+b2-c2)/2ab Cos B=(a2+c2-b2)/2ac Cos A=(c2+b2-a2)/2bc 任意三角形射影定理又称 “ 第一余弦定理” ：设ABC 的三边是a、b、c，它
2、们所对的角分别是A、 B、C，则有ab cosCc cosB，bccosAa cosC，ca cosBb cosA。注： 以“a b cosCccosB” 为例，b、 c 在 a 上的射影分别为bcosC、ccosB，故名射影定理。 证明 1：设点A 在直线BC 上的射影为点D，则 AB、AC 在直线BC 上的射影分别为BD、 CD，且BD=c cosB，CD=b cosC，a=BD+CD=b cosC c cosB.同理可证其余。证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=ac
3、osB+(asinB/sinA)cosA=a cosBb cosA.同理可证其它的。正切定理2/)tan(2/)tan(baba正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦 的比相等。即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （2R 在同一个三角形中是恒量， 是此三角形外接圆的半径的两倍）这一定理对于任意三角形ABC，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR 为 三角形外接圆半径切割线定理PT 切O 于点 T，PBA 是O 的割线PT2=PA PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：PBA，PDC 是O 的
4、割线PD PC=PA PB（切割线定理推论）(割线 定理 ）由上可知 :PT2=PA PB=PC PD 切割线定理证明: 设 ABP 是O 的一条割线， PT 是O 的一条切线，切点为T，则PT2=PA PB 证明：连接A T, BT PTB=PA T(弦 切角定理) P=P(公共角 ) PBTPTA(两角对应相等 ,两三角形相似 ) 则 PB：PT=PT ：AP 即： PT2=PB PA 一.三角形 面积公式：1. 海伦公式:设 P=(a+b+c)/2 S=根号下 P(P-a)(P-b)(P-c) 解释 :假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S 可由以下公式求得：S=p(p-
5、a)(p-b)(p-c) 而公式里的p 为半周长：p=(a+b+c)/2 2.SABC=(ab/2) sinC=(bc/2)sinA=(ac/2)sinB=abc/(4R)R为外接圆半径 3. SABC=ah/2 二. 正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; （条件同上）(3)相关结论 : a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinCc/sinD=BD=2R 设 R 为三角外接圆半径，
6、公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, 即当一内角为90时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA 相交弦 定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：若弦 AB、CD 交于点 P 则 PA PB=PC PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：若 AB 是直径， CD 垂直 AB
7、于点 P，则 PC2=PA PB（相交弦定理推论）圆幂定理：一点 P 对半径R 的圆 O 的幂定义如下： OP2-R2 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆 上 的 点 的 幂 为零。圆幂定理是对相交弦定理、 切割线 定 理 及 割 线 定理 （切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA PB=PC PD。统一归纳：过任意不在圆上的一点P 引两条直线L1、L2，
8、L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、 D（可重合），则有 PA PB=PC PD。进一步升华（推论） ：过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2， L1与圆交于A、 B （可重 合 ， 即 切 线 ） ， L2 与 圆 交 于C 、 D 。 则PA PB=PC PD 。 若 圆 半 径 为r ， 则PC PD=(PO-r) (PO+r)=PO2-r2=|PO2-r2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点 P 到圆 O 的幂。（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值）若点 P 在圆内，类似可得定值为r2-PO2=|PO2-r2| 故平面上
9、任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、 B，那么 PA PB等于圆幂的绝对值。 （这就是 “ 圆幂 ” 的由来）西姆松 定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂 足 共线。（此线常称为西姆松线）西 姆松 定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆 上。相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH 的交点为线段PH 的中点，且这点在九点圆上。（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角 。（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P 对应两者的西姆松线的交角，跟 P 的位置
10、无关。（ 4）从一点向 三角 形 的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。托勒密定理托 勒密 (Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦 、余弦 的和差公式及一系列的三角恒等式 ，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质梅涅劳斯定理梅涅劳斯 （Menelaus）定理（简称 梅氏定理）是由 古希 腊 数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC 的三边AB、 BC、CA 或其延长线交于F、D、E 点，那
11、么(AF/FB) (BD/DC) (CE/EA)=1 。塞瓦定理在ABC 内任取一点O，直线AO 、 BO、 CO 分别 交对边于D 、 E、 F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成 2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、 设三角形ABC 的外心为O， 垂心为 H， 从 O 向 BC 边引垂线，设垂足不L， 则 AH=2OL 9、三角形的
12、外心，垂心，重心在同一条直线上。10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中， 三边中心、 从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇 * 大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点， 过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。13、（内心） 三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另
13、外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中 线 定 理 ： （ 巴 布 斯 定 理 ） 设 三 角 形ABC的 边BC的 中 点 为P， 则 有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯 图 尔 特 定 理 ： P将 三 角 形ABC的 边BC内 分 成m:n ， 则 有n AB2+m AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点 M 和对角线交点 E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B 的距离之比为定比m:n（值不为 1）的点 P，位于将线段 AB 分成 m:n 的内分点C 和外分点D 为直径
14、两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB CD+AD BC=AC 20、以任意三角形ABC 的边 BC、CA 、 AB 为底边，分别向外作底角都是30度的等腰BDC 、CEA、AFB，则 DEF 是正三角形。21、爱尔可斯定理1：若 ABC 和三角形 都是正三角形，则由线段AD 、BE、CF 的重心构成的三角形也是正三角形。22、 爱尔可斯定理2： 若ABC、 DEF 、 GHI 都是正三角形， 则由三角形 ADG 、 BEH、CFI 的重心构成的三角形是正三角形。25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC 的A 的外角平分线交边CA 于 Q、C 的平分线交边AB
15、于 R， 、B 的平分线交边CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线。26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意 ABC 的三个顶点A、 B、C 作它的外接圆的切线，分别和BC、 CA、 AB 的延长线交于点P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线28、塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边AB 、 AC 的交点分别是 D、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS 一定过边BC 的中心 M 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设 ABC 的内切圆和边BC、CA 、AB 分别相切于点 R、S、T，则 AR、 BS、CT
16、交于一点。34、史坦纳定理：设ABC 的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于 ABC 的点 P的西摩松线通过线段PH 的中心。35、史坦纳定理的应用定理：ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC、CA、 AB 的对称点和 ABC 的垂心H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P 关于ABC 的镜象线。36、 波朗杰、 腾下定理： 设ABC 的外接圆上的三点为P、 Q、R， 则 P、 Q、 R 关于 ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2 ).37、波朗杰、腾下定理推论1：设 P、Q、R 为ABC 的外接圆上的三点，若P、Q、R关于 ABC 的西摩松线交于一点，则A、 B、C 三点关于 PQR 的的
