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1、金融数学第五章 因素模型-套利定价理论APT CAPM断言，证券具有不同的预期回报率 是因为有不同的值，并进行了均衡定价 附录2中列举了CAPM的问题。市场组合难 得到 存在市场因素（市场组合）之外的因素， 引起证券价格的共同波动 罗斯(A.Ross)1976年提出了多因素定价模 型套利定价理论（APT） CAPM可视为APT的一个特例。单一指数 模型 APT的假设大大少于CAPM假设第一节 因素模型和套利 Factor Arbitrage 风险都是由因素风险引起，只要避免了因 素风险就避免了全部的风险 APT假设证券回报率与未知数量的未知因 素相联系 分析每种证券对因素变动的敏感性 每个证券
2、对于该因素的变化是如何应对的 套利行为必须是“没有风险”的 单因素模型 单因素模型假设：证券市场中的各个证券之 间的联动性仅仅是由单独一个因素对证券普 遍产生影响 例如，如果投资者认为证券的收益率仅仅受 到工业产值的预期增长率G 的影响 从历史数据出发，通过回归分析可以建立证 券收益率与G之间的线性关系 l从书上的 数据计算，a= 4% ，b=2单因素模型的一般表述 单因素模型认为：只有一个因素F对证券 收益率产生普遍的影响 建立证券I的收益率在任意时期t的估计式 lFt为t期因素F的预期值；lbi为证券i对因素F的敏感性；lrit为证券i在第t期的实际收益率；lit为证券i在第t期的误差 单
3、因素模型下期望方差计算 期望收益率 方差或因素风险 证券间协方差 市场模型特殊的单因素模型 如果将市场组合m的收益率rm作为单因素 模型中的F，就得到一个特殊的单因素模型 M的收益率用市场价格指数收益率代替 以市场指数收益率作为单因素的单因素模 型称为市场模型，表达式为： 敏感性敏感性系数系数单因素模型下风险的解 总风险分解成 两部分 因素风险 类似系统风险 非因素风险 类似非系统风险 多因素模型 假设证券收益率受K个共同因素 F1，F2，FK的普遍影响 用多元线性回归，建立如下的证券i的收 益率与K个因素的关系式 多因素模型下证券或组合的 期望方差协方差计算 期望收 益率 方差或 因素风 险
4、 证券间 协方差套利和近似套利 “无套利”是APT的最基本假设 如果每个投资者对各种证券的期望收益和敏感性均 有相同的估计，那么在均衡状态下各种证券取得不 同期望收益率的原因是什么 4个问题： 第一，一个实际市场是否已达到均衡状态 第二，如果市场未达到均衡状态，投资者如何行动 第三，投资者的行动会如何影响市场，最终使市场 达到均衡 第四，均衡状态下，证券的期望收益率由什么决定 套利的定义 套利是利用同一种实物资产或证券的不同价格来赚 取无风险利润的行为 套利最具代表性的是以较高的价格出售证券，同时 以较低价格购进相同的证券 现实中难以存在 套利行为是现代有效市场的一个决定性要素 套利所得到利润
5、是无风险的，投资者一旦发现这种 机会就会设法利用它们 一些投资者要比其他人具有更多的资源和意愿去从 事套利活动 只有极少的积极投资者能够发现套利机会 随着他们的买进和卖出，套利机会将消除近似套利的定义 用因素模型说明“近似套利机会” 如果不同的证券或组合对各个因素的敏感性相同，那 么，除了非因素风险之外，不同的证券或组合应该提 供相同的期望收益率 如果两种证券组合所提供的收益率不同，便提供了“ 近似套利机会” 卖出收益率低的，同时买进收益率高的证券或组合， 就肯定可以获得正利益 利用这些套利的机会后，原来的套利机会消失 近似除了非因素风险之外 如果组合完全分散化，非因素风险将“消失”套利组合l
6、为实现套利，需要买入一些证券，同时卖 出一些证券，该过程就是构建套利组合l构建套利组合需要满足的3个条件l第一，不增加额外资金。套利组合中买入 证券需要的资金来自卖出证券所的资金l第二，套利不承担风险。因素模型中的风 险是因素风险l第三，套利提供正利润。新证券组合的收 益率必须大于前组合的收益率 套利组合条件公式表示对公式的说明 可以用矩阵的方式表示 x表示权重改变量，未知，需要求解 满足公式的x都是套利组合 解一般是不唯一的构建套利组合后的“处境”从一个旧证券组合变成了一个新的证券组合 新的证券组合旧的证券组合套利组合 套利组合期望收益率0 新组合的敏感性=旧组合的敏感性 新组合因素风险旧组
7、合因素风险 由于存在非因素风险 新组合风险不一定等于旧组合的风险 套利定价方程 套利定价方程是判断是否存在套利机会的 工具 Ei（i1，n）满足何种条件，解不存在 ， 可以证明，当且仅当Ei是敏感性的线性函 数,就是说不再存在套利机会方程中的含义 根据无风险证券 0rf 构造特殊的证券组合j j对因素Fj的敏感性bj1，而对其他因 素的敏感性bi0（ij） j的期望收益率E（j）rfj j E(j ) rf 类似于标准正交基下的坐标套利定价模型的计算实例 例1。工业产值为单因素 投资者拥有3种证券，每种证券的当前市 值均为4 000 000元。 总资金12 000 000元。 3种证券预期回报
8、率和敏感性如下表 证券预期回报率(%)敏感性bi 证券1 证券2 证券315 21 120.9 3.0 1.8 期望和敏感性的改状态，是否可以引起 存在套利？ 解“方程” x1x2x30 0.9x13.0x21.8x30 15x121x212x30 解不唯一。给x1赋予一个值，例如0.1, x20.075，x3-0.175新旧组合的比较旧组合套利组合新组合权数 X1 X2 X3 性质 r b 0.333 0.333 0.333 16.000% 1.900 11.000%0.100 0.075 -0.1750.975% 0.000 很小0.433 0.408 0.158 16.975% 1.90
9、0 约11.000%第二节 多因素定价模型的推导 因素模型的5个假设条件 假设1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分 假设2：存在K个共同因素影响整个证券市场 假设3：所有投资者对同种证券的收益具有的预期 是一致的，因而，对资产 收益的预期就是对因素荷 载bik（k1,2,K）的预期。这里因素荷载bik表 示证券i对因素Fk的敏感系数 假设4：市场中存在充分多的资产。这个假设为下 面的渐进套利的概念提供了基础。 假设5：证券市场不存在渐近套利机会（asymptotic arbitrage opportunity） 对假设2的说明 根据回归模型中的假设 用“线性变换”的构造新的因素 使得满足“标准
10、正交”的条件 因子载荷矩阵形式 B是敏感度系数 矩阵，或因素载 荷矩阵（factor loading matrix ） 思考：用矩阵形 式表示，因素和 误差的限制条件 渐近套利机会对假设5的说明 存在一个证券组合序列，满足三个条件 与套利组合三个条件相对应 多因素模型下定价公式 如果风险证券收益率由K因素模型给定， 存在形如下式的线性定价公式l定价公式的误差分析。n风险证券的数量l定理5.1：如果风险证券收益由K因素模型给定 ，那么，存在的实数0，1，K，使得 对定价公式的说明 证明过程给出了公式中系数i的具体计算 系数i因素i的风险溢价 总误差=每个证券的残差平方和 证券的数量大的时候，总误
11、差趋向于0 将每个证券残差V，从大到小“排队” “小的”定价准确 对个别证券，其定价可能“不准确” 可以用线性代数的方法推导定价公式定价公式中的因素风险溢价 没有经济含义 (1，K)factor risk premium 类似多元统计分析中的因子 定理5.2：对于任意无套利定价模型，可以 构造出与原来K个因素不同的另外K个不相 关因素，使得，这K个新因素中仅有一个具 有正的因素风险溢价完全分散化 因素风险溢价向量在某些条件下，可以用证券组 合解释 完全分散化证券组合fully diversified portfolio 定义：完全分散化证券组合是证券组合序列p(n) 的极限过程。p(n)满足下
12、面两个条件对定义的说明 完全分散化证券组合的投资权重由极限方 式产生 每个资产的投资比例权重Wi趋于0 “大多数”（有限个除外）资产， Wi(n)O(n-1) 如何理解，投资于资产的权重是0？ 类似于概率论中的“密度” 应该从“密度”的角度来理解完全分散化 证券组合投资于每种资产的比例 不能仅仅看到它都等于0 完全分散化证券组合的 非因素风险等于0 在完全分散化证券组合下，非因素风险是 无穷小量序列的极限，即 l反之不成立，有反例l存在不是完全分散化证券组合，其非因 素风险是0完全分散化下定价是精确的 一般来说，定价公式有误差 对于完全分散化证券组合，没有误差 定理5.3：对于完全分散化证券组
13、合p，其 预期收益满足 在取极限状态下，误差趋向于在取极限状态下，误差趋向于0 0对定价公式中的i解释 构造一个特殊完全分散化证券组合p，使 bpk0 (k1,2,K) 则 l构造完全分散化证券组合p ，使bpk1， bpj0 (jk)，只对第k因素敏感，则 l利用这些特殊的完全分散化证券组合， 可以解释单因素模型下的定价公式 假定市场组合m是完全分散化的 第三节 APT与CAPM的比较 APT与CAPM的公式的形式一样 内在的经济含义不同 CAPM是在市场均衡的条件得到的 APT是在无套利条件得到的 两者之间的关系是： 均衡的市场里一定没有套利机会 无套利机会并不意味着市场是均衡的 APT中
14、敏感系数与 CAPM中系数的关系 CAPM依赖于1个因素，维数1 APT多维模型 3维空间中，确定一个点，需要3个独立条件 如果只有一个，将不能精确地确定 似乎多维模型比一维模型“更准确” APT比CAPM “好” 下面以两因素模型为例，说明敏感系数与 系数的关系两因素模型下 公式的几何图形表示 以两个敏感性b为横纵坐标 给定一个证券i的收益率，满足定价公式 的点很多 构成资产i的等值线，等高线 等值线是一簇平行线，斜率相同 截距不同，与期望值有关 例如，无风险资产过原点，截距01.0 1.5 0.5 1.02.03.00无风险 资产p pSML bi2m 市场组合bi1两因素模型下 系数与敏
15、感系数的关系 资产j对因素1和因素2的敏感系数 市场组合对应的敏感系数的某一个倍数 这个倍数就是系数 随着系数的取法不同，在平面中构成直线 以系数为自变量的SML在平面中是直线 直线斜率与两个敏感系数有关APT比CAPM的选择余地大 图中过原点的直线上的所有点（组合） 它们的期望收益率都等于无风险利率 除了原点O点外，均不是无风险资产组合（因为包 含有风险资产） 例如，对于期望收益率为20的资产组合来说 由CAPM决定，则，对应惟一点，p 由APT决定，则，对应直线pp上任意的点 对某些投资者来说，虽然p和p均值相等，也许更 喜好资产组合p，胜过p 从这个意义上讲，APT比CAPM选择余地大多因素模型下 的敏感系数与系数的关系 通过市场组合，计算单个资产的敏感系数 资产j对应于每个因素的敏感系数 市场组合所对应的敏感
