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1、1.4 古典概率模型和几何概率模型如何确定事件的概率是 概率论中的基本问题古典概率模型和几何概 率模型是概率论中两种最基 本的概率模型，在这两种概 率模型下计算事件的概率是 本节的主要任务1一、古典概率模型 1 只有有限多个基本事件，并记它们为1, 2, ，n ；一类最简单的随机试验具有下述特征: 2 每个基本事件发生的概率相等，即 这种可等能的概率模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象，谓之为古典概率模型，简称为古典概型 2古典概型在概率论中有很重要的地位，一方面是因为它比较简单，许多概念既直观又容易理解，另一方面是因为它概括了许多实际问题，有广泛的应用对于古典概型下的任何事件A，若A中所包
2、含3求概率问题转化为计数问题 .排列组合是计算古典概率的重要工具.基本计数原理1.加法原理设完成一件事有m类方式，第一类方式有n1种方法，第二类方式有n2种方法, ,第m类方式有nm种方法.则完成这件事总共 有n1 + n2 + + nm种方法 .特点:一步完成4例如，某人要从甲地到乙地去, 甲地乙地可以乘火车 ,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3 + 2 种方法回答是5基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法 .2.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法, , 第m个步骤有nm种方法.特点：多步完成例如, A地
3、到B地有两种走法, B地到C地有三种 走法, C地 到 D地有四种走法, 则 A地到 D 地共有种走法.6特别, k = n时称全排列排列、组合的定义及计算公式1. 排列:从n个元素中取 k个不同元素的排列数为：阶乘若允许重复, 则从n个元素中取 k个元素的排列数为：注意72. 组合:从n个元素中取 k个元素的组合数为：推广: n个元素分为s组，各组元素数目分别为 r1,r2,rs的分法总数为8例7 在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2 ，10 。从中任取一球，求此球的号码为偶数 的概率。解 设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,10)， 则试验的样本空间为S=1,2,10，因此基本
4、事件 总数n=10。 又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则 A=2,4,6,8,10， 所以A中含有k=5个样本点，故 9古典概型的基本类型举例 古典概率的计算关键在于计算基本事件总 数和所求事件包含的基本事件数。由于样本空间的设计可由各种不同的方法 ，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷 繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。101、抽球问题 例8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解 设A取到一红球一白球答:取到一红一白的概率为3/5。11一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是12例9 某箱中
5、装有m+n个球，其中m个白球， n个黑 球。 (1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r 个白球和s个黑球的概率；解 试验E：从m+n球中取出r+s个，每r+s个球构成 E的一个基本事件，不同的基本事件总数为设事件A：“所取的球中恰好有r个白球和s个黑球” ，总共有多少个基本事件呢？所以，事件A发生的概率为13(2)从中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球，如果每一 个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率 。解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个 球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同 的基本事件总数为设事件B：“第k+1个取出的球是白球”，由于第k+1
6、个球是白球，可先从m个白球中取一个留 下来作为第k+1个球，一共有其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排 列，总数为种保留下来的取法，事件B所包含的基本事件总数为14所以最后所取的球是白球的概率为注：P(B)与k无关，即不论是第几次抽取，抽到白球 的概率均为 15在实际中，有许多问题的结构形式与抽球 问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地 抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个 ，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的 概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的 选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择 抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突 出，而不必过多的交代实际背景。1
7、62、分球入盒问题解 设A：每盒恰有一球，B：空一盒例10 将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）恰好空一盒的概率是多少？17一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中 去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：18例11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率 1/N落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个 盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的 概率：A=某指定的一个盒子中没有球 B=某指定的n个盒子中各有一个球 C=恰有n个盒子中各有一个球 D=某指定的一个盒子中恰有m个球(mn) 解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共 有Nn种放法。
8、即基本事件总数为Nn。 事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的 每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。 总共有(N1)n种放法。因此 19事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n! 种放法，因此 事件C：恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选 出n个，选取的种数为CNn在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)， n!种放法；事件C的样本点总数为事件D：指定的盒子中，恰好有m个球，这m个球可从n个球中 任意选取，共有Cnm种选法，而其余n-m个球可以任意分配到 其余的N-1个盒子中去，共有(N-1)n-m种，所以事件D所包含 的样本点总数为Cnm
9、(N-1)n-m20某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入 盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。(1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的 可能情况(设一年365天)；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车 ，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站 ：“盒子”；(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中；(4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误 球，页盒
10、子。 213.分组问题 例12 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成 3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。解 设A：每组有一名运动员；B：3名运动员集中在一组22一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：234. 随机取数问题例13 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率。解 N(S)=200,N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25(
11、1),(2),(3)的概率分别为： 33/200,1/8,1/2524例14 全班有50个学生，问至少有两人生日相同的 概率为多少？（设一年有365天） 解事件总数:有利场合数:概率之大有点出乎意料. 从下表中可以看出, 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有 利的.2520 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53830 0.70640 0.89150 0.97060 0.994有人同生 日的概率人数26*二、几何概率模型几何概型借助于几何度量确定事件的概率 ，习惯上称这种概率为几何概率类似于古典 概型的有限性和等可能性，几何概型满足下述 两个特征：其几
12、何度量度、面积或体积等）大小可用表示； 1随机试验的样本空间充满某个区域，27事件A的概率为对于几何概型下的任何事件A，若A对应于中的某个子区域，其几何度量可用表示，则2任意一点落在中任何子区域的概率只 与其几何度量有关，并与之成正比28例1.12 某地铁车站每隔5分钟有一列车通 过，乘客到达车站的时刻是随机的，求一位乘 客候车时间不超过3分钟的概率记A=候车时间不超过3分钟 则 这里和分别表示A和的长度解 设x为乘客到达车站的时刻，则样本空 间29例1.1 在区间（0,1）中随机地取两个数， 求两数之差的绝对值小于1/2的概率1A1解 设x，y为所取的两个数，则样本空间记30这里和分别表示A和的面积则（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何 区域的概率与该区域的面积成正比，求原点 的概率 例1.14 随机地向半圆 和该点的连线与轴的夹角小于 解 过原点作线段OC，使其与x轴的夹角 为 31记图中阴影部分区域为D，所求概率为 其面积为 32
