《三角形三边中垂线、高线、角平分线、中线必交一点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形三边中垂线、高线、角平分线、中线必交一点（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、证明：三角形三边中垂线必交与一点在三角形 ABC 中作 AB 和 AC 的中垂线，交于O 点则由中垂线性质可知AO=BO ，AO=CO 故 BO=CO 过 O 作 BC 的垂线，垂足为D，则由 BO=CO 与 OD=OD 可证得 Rt 三角形 ODB 全等于 Rt三角形 ODC 故 BD=CD ，即 OD 为 BC 的中垂线则 AB和 AC 、BC的中垂线都交于O D C B A O 证明：三角形三个内角角平分线必交与一点设三角形 ABC ，首先两条角平分线（假设是角A 和角 B 的）肯定交于一点，设为D，分别过点 D 作三边垂线，AB BC AC 上的垂足为E F G 由角平分线定理，DE=
2、DF ，DE=DG 所以 DF=DG ，由逆定理，CD也为角平分线证明：三角形三边高线 必 交于一点1 如图：作AB 的高 CD 和 AC 的高 BE，显然，两高线比交与一点，设为G 点，连接AG延长交 BC 与 F，现在要证明AF BC。由于 ADC+ AEB=180 ，所以 ADGE 四点共圆，所以DAG= DEG 同理有 DEBC 四点共圆，所以有BCD= DEG 所以 BCG= DAG ，又 DGA= FGC ，所以 CFG= ADG=90 度所以 AFBC 所以三条高交与一点。G F D C B E G E D B C A A F 2 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三
3、边 AB、BC、AC 的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB ）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/ (AE*ctgB)=1 ，所以三条高CD 、AE 、BF 交于一点。1.塞瓦定理的逆定理设 三 边AB 、 BC 、 AC的 垂 足 分 别 为D 、 E 、 F ， 根 据 塞 瓦 定 理 逆 定 理 ， 因 为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB ）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1，所以三条高CD 、AE、BF交于一点。3.解析法，把三条直线设出来，然后算出三条高线的解析式，证明它们交在一个点证明：三角形三边中线 必交于一点三角形 ABC 的中线 BE 和 CD 交点 O， 连接并延长 AO 交 BC 于 F，证明：F 是 BC 中点。作 BG 平行 DC 交 AO 延长线于 G 则因 D 为 AB 中点 ,所以 O 为 AG 中点连接 GC, 则在三角形AGC 中,OE 是中位线OE 平行 GC 所以 BOCG 为平行四边形F 平分 BC， F 是 BC 中点。G F C O D E B A
