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1、数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain本章讲述利用傅立叶变换的频域图 像增强。 首先介绍傅立叶变换的一些知识， 再介绍其在图像增强中的应用。 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.1 背景法国数学家傅立叶提出，任何周期函数 都可以表示为不同频率的正弦或余弦的和的形 式。 傅氏级数；对于非周期函数，则用正 弦和余弦及加权函数的积分来表示。 傅氏变换：应用极为广泛，尤其是数 字计算和快速算法的发明，在信号处理领域产 生了具
2、大变革。 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换离形形式：频域不同的频域成份，可以表示成极坐标形式：数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.1 一维傅立叶变 换及其反变换功率谱“谱密度”信号频谱分析示意图 如右图所示：数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Freq
3、uency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.2 二维DFT及其反变换 一个图像关于的函数的离散同理： 谱： 同角：功率谱： 可以证明：原点被放置在 上为图象平均灰度。数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.2 二维DFT及其反变换 如果 为实数，其傅氏变换为对称的：同样，空间域和频率域抽样点之间的关系：例子4.2 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2
4、傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.2 二维DFT及其反变换 下图实例： 中心化，矩形宽高化为21 反映到频域轴亮点间距恰好相反 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.3 频率域滤波一般不大可能建立 图像特定分量和其变换 之间的直接联系，但可 以建立傅氏变换的频率 图像中的强度变化模式 之间的联系。例如，低频对应图 像的慢变化分量（墙， 地板），而高频分量对 应着图像中灰度变化联 系地方（边缘，噪声） 。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enha
5、ncement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.3 频率域滤波 频率域滤波基本步骤： 1、 原图像 2、 3、 4、反DEF 5、实部 6、用结果。 被滤波图像数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.3 频率域滤波 一些基本的滤波器及其性质： 陷波滤波器： 平均值 如果想使其平均灰度为0，则可：具体见如下图示：数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequen
6、cy Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.3 频率域滤波 此外还有低通和 高通滤波，具体图像右图 所示： 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.3 频率域滤波 下图示意高通的改进结果 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系 基本联系就是卷积定理 离散卷积：在 处，强度为A的冲激函数，
7、并且：把 看作 大小的图像，在 有值，其 它全为0。数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系 单位冲激的傅氏变换：可得到： 令可以输入出 结论：空间域和频率域中的滤波器组成了一个傅立叶变换对。 一般空间域更适合使用小的滤波器。数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.4 空间域滤波和频率 域滤波之间的对应关系
8、 例如：高斯滤波函数为标准差：傅立叶变换及其反 变换因为实数。 曲线形状如右图所示： 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍4.2.4 空间域滤波和频率 域滤波之间的对应关系更复杂的滤波器可 以由基本高斯函数构造 出来。如，高斯高通形状见右图： 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器主要考虑三种滤波器：理想、巴特沃思和 高斯。数 字 图 像 处 理Chapter 4
9、 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.1 理想，低通滤波器是点距频率原点的距离。 如果图像大小 ，其变换亦为 中心化之后，矩形中心在则数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器4.3.1 理想低通滤波器 一幅大小的图像的总的功 率谱若变换被中心化，原点在 频率矩形中心，半径为r的 圆包含 %的功率： 可以此来建立一组标准截 止频率的对立量，具体例 子如右图所示： 数 字 图 像 处 理Chapter 4 I
10、mage Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器4.3.1 理想低通滤波器可以此来建立一组标 准截止频率的对立量，具 体例子如右图所示： 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器4.3.1 理想低通滤波器均有“振铃”特征 为什么会有“振铃”现象呢？ 其根本原因是空域滤波器有负 值，具体具体解释右图（b） 右图用5个脉冲图像来说明“振 铃”的产生，可看作5个冲激， 只是简单地复制 “振铃”。 数 字 图 像 处 理Chapter
11、4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器4.3.2 巴特沃思低通滤波器n阶巴特沃思低通传函数截止频率距原点距离为数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器4.3.2 巴特沃思低通滤波器n阶巴 特沃思低通传函数一阶巴特沃思无“振铃”，二 阶微小,高阶则很显著。 滤波效果见右图所示： 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的
12、频率域滤波器4.3.2 巴特沃思低通滤波器n阶巴特沃思低通传函数下图是不同阶的巴特沃思滤波效果和振铃之间的一个折中。 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器4.3.3 高斯低通滤波器截止频率，当 时，滤波器下降到其最大值的0.607处。 无振铃现象，曲线见下图所示： 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器4.3.3 高斯低通滤波器 滤波效果见 右图所示：数 字 图 像 处
13、理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器4.3.4 低通滤波的其它例子 ： 1、字符识别： 下图：断裂现象数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.4 低通滤波的其它例子 ： 2、印刷和出版业：预处理 下图：减少面部细纹 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.3 平滑的频率域滤波器4.3.4 低通滤
14、波的其它例子 ： 3、卫星和航空图像： 下图：墨西哥湾和佛罗里达图像存在“扫描 线” （用高斯低通来处理） 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.4 频率域锐化处理突出边缘，用高通滤波 来处理可从上面讨论中 直接取反同样只考虑理想、巴特 沃思和高斯三种高通滤 波器。 具体见右图 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.4 频率域锐化处理4.4.1 理想高通滤 波器截止长度 同样有振铃现象， 见右图空间表示。数 字 图
15、像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.4 频率域锐化处理4.4.1 理想高通滤波器 下图示意理想高通滤波器，振铃很明显。 数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.4 频率域锐化处理4.4.2 巴特沃思高通滤波器 n阶巴特沃思型高通滤波器：截止频率距原点距离。 滤波效果见下图所示： 效果比理想的滤波器要好得多。数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.4 频率域锐化处理4.4.3 高斯型高通滤波器 截止频率距原点为的GHPF传函为：效果见下图所示： 结果比前2个更平滑。数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.4 频率域锐化处理 4.4.4 频率域的拉普拉斯算子 根据傅氏变换性质有：可得到：即：频域的拉氏算子为：（同样要中心化）数 字 图 像 处 理Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain4.4 频率域锐化处理4.4.4 频率
