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1、第15章 电路方程的矩阵形式l重点1.图、树、割集 关联矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念及描述3、回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式第15章 电路方程的矩阵形式15.1 割集一.割集Q(1) 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； (2) 保留Q 中的一条支路，其于都移去，G还是连通的。是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：43215613 4256Q1: 2 , 5 , 4 , 6 432156432156432156Q4: 1 , 5 , 2 Q3: 1 , 4 , 6Q2: 2 , 3 , 6 一般来说可以通过在连通图上作闭合面的方法 确定一个割集1234
2、1，2，3，4 割集?三个分离部分4保留4支路，图不连通。1 2 341，2，3，4 割集?二. 基本割集（单树支割集）432156432156432156 Q3: 1 , 5 ,3 , 6 Q2: 3 , 5 , 4Q1: 2 , 3 , 6 1 单树支割集是独立割集,但独立割集不一定是单树支割集;2 独立割集数为( n-1 );15.2 图的矩阵表示电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可以 写出网络的KCL和KVL方程。图的矩阵表示用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和 KVL的矩阵形式。结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵1. 关联矩阵一条支路连接两个结点，称该支路与这
3、两个结点相关 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。n 个结点b 条支路的图用 nb 的矩阵Aa描述ajkajk=1 支路k与结点j 关联，方向背离结点。 ajk= -1 支路k与结点j 关联，方向指向结点 ajk =0 支路k与结点j无关Aa=n b支路b结点n每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路， 矩阵Aa的每一个元素定义为：例Aa=1 2 3 41 2 3 4 5 6 支结 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 -1 0 0 -1(1)每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa 的每一列元素之和为零。(2)矩阵中
4、任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n- 1行是独立的。1关联矩阵Aa的特点：引入降阶关联矩阵AA=(n-1) b支路b结点（n-1）例Aa=1 2 3 41 2 3 4 5 6 支结 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 -1 0 0 -11设为参考节点,得降阶关联 矩阵A=1 2 31 2 3 4 5 6 支结 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1引入关联矩阵A的作用：设:用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程1-1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1A i =
5、矩阵形式的KCL: A i = 0以为参考节点n-1个独立方程1设:用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程2. 回路矩阵B1 支路j 在回路i中方向一致-1 支路j 在回路i中方向相反 0 支路j 不在回路i中bij=一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关 联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。B=l b支路b独立回路l每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路，矩阵 B的每一个元素定义为：2。支路排列顺序为先树支后连支，回路顺序与连支顺序一致若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵Bf，规定：1。连支电流方向为回路电流方向例取网孔为独立回路，顺时针方向1 2 31123B =1
6、 2 3 4 5 6 支回 0 1 1 1 0 0 0 0 -1 0 -1 11 -1 0 0 0 -1注 给定B可以画出有向图。选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。1 2 3B =4 5 6 1 2 3 支回 1 -1 0 1 0 01 -1 1 0 1 0= Bt 1 0 1 -1 0 0 1BtBl1例设 矩阵形式的KVL： B u = 0引入回路矩阵B的作用：用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程 B u =1 -1 0 1 0 01 -1 1 0 1 00 1 -1 0 0 1BtBl1 Bf u = 0 可写成 Btut+ul=0ul= - Btut设连支电压用树支电压表示用回
7、路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程矩阵形式的KCL： B T il = ib Bf= Bt 1 树支电流用连支电流表出1独立回路电流3. 基本割集矩阵Q每一行对应一个基本割集 每一列对应一条支路，矩 阵Q的每一个元素定义为：qij=1 支路j在割集i中且与割集方向一致-1 支路j在割集i中且与割集方向相反0 支路j不在割集中 割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述， 这里主要指基本割集矩阵。Q=(n-1) b支路b割集数规定： (1)割集方向为树支方向 (2)支路排列顺序先树支后连支 (3)割集顺序与树支次序一致若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵Qf1例选 4、5、6支路为树Q1:1,2
8、,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6Q=4 5 6 1 2 3 支割集 Q1 Q2 Q31 0 0 -1 -1 00 1 0 1 1 -10 0 1 0 -1 1 QlQt设矩阵形式的KCL：引入基本割集矩阵Qf的作用：用基本割集矩阵Qf表示矩阵形 式的KCL方程11 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1 Qf ib =矩阵形式的KCL： Qf ib =0设树枝电压（或基本割集电压）：ut= u4 u5 u6 T用QfT表示矩阵形式的KVL方程1矩阵形式的KVL： Qf Tut =ub连支电压用树支电压表示QQi=0QTut=u小结：ul= - B
9、tutABKCLAi=0BTil=iKVLATun=uBu=015.5 支路电压电流关系的矩阵形式反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩 阵形式是网络矩阵分析法的基础。1.复合支路设标准支路为：Zk（Yk）-+-+ 复 合 支 路特点：123Zk（Yk）-+-+ 复 合 支 路注：Zk（Yk）-+-+ 复 合 支 路复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数 及连接方法，但允许缺少某些元件。Zk（Yk）Zk（Yk）-+-+Zk（Yk）Zk（Yk）=0-+2.阻抗矩阵形式应用KCL和KVL可以写 出用阻抗表示的k支路电 压、电流关系方程：Zk（Yk）-+-+如有b条支路，则有：设支路电
10、流 向量支路电压 向量电压源电 压向量电流源电 流向量2.阻抗矩阵形式应用KCL和KVL可以写 出用阻抗表示的k支路电 压、电流关系方程：Zk（Yk）-+-+整个网络的支路电压、电流关系矩阵：bb阶对角阵Z=diagZ1Z2ZbT写出图示电路支路电压 、电流关系矩阵：例+R1R51/jCjL2R6234-jL31123456解*M+-+3.有互感时的阻抗矩阵形式一般情况jLm-MmnjLn-+电压电流4.有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式例+R1R51/jCjL2R6234-jL31M5. 支路导纳矩阵形式Zk（Yk）-+-+对于不含互感和受控源的网络bb阶对角阵对于含互感的网络.USkIdk
11、.Ik.IekZk对于含受控源的网络考虑b个支路时：15.6 网络矩阵的分析方法有了反映元件性质的支路电压和支路电流矩阵 方程和KCL、KVL的矩阵表示，就可以对任意复杂 的网络进行网络矩阵分析。1.结点电压方程的矩阵分析最常用的方法由KCL有由KVL有Yn结点导纳阵独立电源引起的流入结 点的电流列向量结点分析法的一般步骤123456第一步：抽象为有向图 5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-第二步：形成A1 2 3A=1 2 3 4 5 6 支节1 1 0 0 0 10 -1 1 1 0 00 0 -1 0 1 -1第三步：形成Y结点分析法的一般步骤1234565V0.5W2W1W
12、0.5W5W1W3A1A+-第四步：形成US、ISUS= -5 0 0 0 0 0 TIS= 0 0 0 -1 3 0 T第五步：用矩阵乘法求得节点方程2.回路矩阵分析法Zk（Yk）-+-+用阻抗表示的支路方程：回路电流il (b-n+1)1阶回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元素为 自阻抗，其余元素为互阻抗。回路矩阵方程从已知网络，写出回路分析法的步骤:求出列出回路方程求出由KCL解出根据支路方程解出3.割集矩阵分析法以树支电压为未知量用导纳表示的支路方程割集导纳矩阵，主对角线元素为相 应割集各支路的导纳之和，总为正 ；其余元素为相应两割集之间共有 支路导纳之和。割集电流源向量割集矩阵方程选定一个树，写出割集分析法的步骤:求出列出割集方程求出由KVL解出根据支路方程解出
