电子技术基础逻辑代数

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1、电工电子技术逻辑代数逻辑代数辑 代数基础1.3.1 1.3.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念1.3.2 1.3.2 逻辑代数的公式、定理和规则逻辑代数的公式、定理和规则1.3.3 1.3.3 逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式退出退出事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽 象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分 析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有和 两种逻辑值，有与、或、非与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或与或 、与非、与或非、异或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字

2、母表示 。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称 为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的 逻辑状态。逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系 ，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代 数来描述。1.3.1 基本逻辑运算1、与逻辑（与运算）与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件 （A，B，C，）均满足时，事件（Y）才能发生。表达 式为：开关A，B串联控制灯泡Y两个开关必须同时接通， 灯才亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。这种把所有可能的条件组合及其对应 结果一一列出来的

3、表格叫做真值表。将开关接通记作1，断开记作0； 灯亮记作1，灯灭记作0。可以作 出如下表格来描述与逻辑关系：功能表实现与逻辑的电路 称为与门。与门的 逻辑符号：真 值 表逻辑符号2、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各 种条件（A，B，C，)中，只要有一个或多个 条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：开关A，B并联控制灯泡Y两个开关只要有一个接通， 灯就会亮。逻辑表达式为：+ +A、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯亮。A接通、B断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。实现或逻辑的电 路称为或门。或 门的逻辑符号：Y=A+BY=A+B真值表功能表逻辑符号3、非逻辑（非运算）非逻辑指

4、的是逻辑的否定。当决定事件 （Y）发生的条件（A）满足时，事件不发 生；条件不满足，事件反而发生。表达式为 ： 开关A控制灯泡Y实现非逻辑的电 路称为非门。非 门的逻辑符号：Y=AY=AA断开，灯亮。A接通，灯灭。真 值 表功 能 表逻辑符号4、常用的逻辑运算（1）与非运算：逻辑表达式为：（2）或非运算：逻辑表达式为：（3）异或运算：逻辑表达式为：（4） 与或非运算：逻辑表达式为：5、逻辑函数及其相等概念（1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符 连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母 A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为 输出逻辑变量，字母上面没有非运

5、算符的叫做原变量，有非 运算符的叫做反变量。（2）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、 的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则 称Y是A、B、C、的逻辑函数。记为注意注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量 还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种 不同的状态，没有数量的含义。（3）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数它们的变量都是A、B、C、，如果对应于变量A、B、 C、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2 是相等的，记为Y1=Y2。若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之， 若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数

6、一定相等。因此 ，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表 ，看看它们的真值表是否相同即可。证明等式：1.3.2 逻辑代数的公式、定理和规则1、逻辑代数的公式和定理（1）常量之间的关系（2）基本公式分别令A=0及 A=1代入这些 公式，即可证 明它们的正确 性。（3）基本定理利用真值表很容易证 明这些公式的正确性 。如证明AB=BA：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率 A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等幂率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率 A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1证明分配率：A+BA=(A+B)(A+C)证明：（4）常

7、用公式分配率 A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=10-1率A1=1互补率A+A=1分配率 A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中 的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：2、逻辑代数运算的基本规则（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出 现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规 则称为代入规则。（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”， 原变量换成反变量，反变量换成原变量原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式

8、就 是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。 例如：（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中 的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而 变量保持不变变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为 函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少 一半。例如：注意注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的 优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运 算，否则容易出错。1.3.3 逻辑函数的表达式一

9、个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式 、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表 示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个 逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的 。1、逻辑函数的最小项及其性质（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的 全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且 仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常 称为最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下 标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量 顺序确定后，可以按顺序排

10、列成一个二进制数，则与这个二进 制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：（3）最小项的性质：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为1。ABCABC任意两个不同的最小项的乘积必为0。2、逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称 为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABBC来配项展开成最小项表达式。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小 项相加，便是函数的最小项表达式。m1ABCm5ABCm3ABCm1ABC将

11、真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到 反函数的最小项表达式。本节小结逻辑代数是分析和设计数字电路的重 要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑 问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用 逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和 设计问题。与、或、非是3种基本逻辑关系，也 是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或 非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑 运算复合而成的4种常用逻辑运算。逻辑代数的公式和定理是推演、变换 及化简逻辑函数的依据。1.4 逻辑函数的化简1.4.1 1.4.1 逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式1.4.2 1.4.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法1.4.3 1.4

12、.3 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法1.4.4 1.4.4 含随意项的逻辑函数的化简含随意项的逻辑函数的化简退出退出逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它 的电路越简单，电路工作越稳定可靠。1.4.1 逻辑函数的最简表达式1、最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或 表达式。最简与或表达式2、最简与非-与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非 -与非表达式。在最简与或表达式的基础上两次取反用摩根定律去 掉下面的非号3、最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。求出反函数的 最简与或表达式利用反演规则写出函 数的

13、最简或与表达式4、最简或非-或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或 非表达式。 求最简或非-或非表达式两次取反、最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量 也最少的与或非表达式。求最简或非-或非表达式用摩根定律去 掉下面的非号用摩根定律 去掉大非号下 面的非号1.4.2 逻辑函数的公式化简法1、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。若两个乘积项中分别 包含同一个因子的原变量 和反变量，而其他因子都 相同时，则这两项可以合 并成一项，并消去互为反 变量的因子

14、。运用摩根定律运用分配律运用分配律2、吸收法如果乘积项 是另外一个乘积 项的因子，则这 另外一个乘积项 是多余的。运用摩根定律（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式，消去多余的变量 。如果一个乘积项 的反是另一个乘积 项的因子，则这个 因子是多余的。、配项法（）利用公式（），为某一项配上其所缺的变 量，以便用其它方法进行化简。（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。、消去冗余项法利用冗余律， 将冗余项消去。例：化简函数解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简 。 求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式 。1.4.3 逻辑函数的图形化简法1、卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来

15、表示，利 用卡诺图来化简逻辑函数。将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使 矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列 ，这样构成的图形就是卡诺图。卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。 （相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均 相同，又称为逻辑相邻项） 。每个2变量的最 小项有两个最 小项与它相邻每个3变量的最 小项有3个最小 项与它相邻每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻最左列的最小项与 最右列的相应最小 项也是相邻的最上面一行的最小 项与最下面一行的 相应最小项也是相 邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并2、逻辑函数在卡诺图中的表示（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺 图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。m1 m3m4m6m7m11m14m15（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或 表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每 一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公 因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。变换为与 或表达式的公因子的公因子说明：如果求得 了函数的反函数 ，则对中所包含的 各个最