第三章 集合论基础

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1、第三章 聚类分析 第一节 集合论基础第二节 模糊集合的基本知识第三节 模糊聚类分析 第四节 动态聚类分析 第五节 系统聚类分析 第一节 集合论基础集合论是进行系统分析的重要理论基础 。尤其是其中许多概念，方法等，在系统分 析中有哲广泛的应用。因此介绍有关集合论 的基础知识，对深刻理解和掌握系统工程的 基本理论和方法有着重要意义。一 几个逻辑运算符号以上三个运算符号被广泛应用。下面用 真值表来说明它们的物理意义。设 P、Q 为两个逻辑变量 其取值为: 则、真值表如表所示。 表 3-1 、 、真值表由表可知：逻辑非（）具有反意词的意义。如代表学生，则表示不是学生；逻辑与（）、逻辑或（）代表两个逻辑

2、变量的运算结果。对于逻辑与（）来讲，当、同时为时，为，否则为假（）。对逻辑或（）来讲，则与至少有一个为，为，否则为（）。对真值表的理解，从简单的开关电路中看的更为清楚。设、代表两个电源开关，开关关上为，打开为。电路的灯泡则代表逻辑与（）和逻辑或（），电灯泡亮为，不亮为。显然，图开关串联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑与（）的取值，图的开关并联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑或（）的取值。PQP Q图 3-1 开关串联电路图 3-2 开关并联电路PQP Q条件语句 条件语句是表示逻辑变量之间，或等式之间相互因果关 系的一种表达形式,分为单向条件语句和双向条件语句。（）单向条件语句记成“”，读作有必有

3、。 若为，且有为，则单向条件语句成立， ；反之若为，而为，则条件语句不成立， 。（）双向条件语句记成“”，读作有必有，有必有。若为（），且有为（F)，则双向条件 语句成立，；若为(F)，而为F()，则条件语句不成立，。同样，条件语句的物理意义也可用真值表说明，见表 。表 3-2 条件语句真值表量词在数学描述式中，特别是在集合论 中，经常用到下面两个量词：()万有量词，可读成“全部”、“所 有”、“一切”。如 ， 等。()存在量词，可读成“总有”、“至 少有”。如 ,读成至少一 个 属于 ，而 不属于 。二 普通集合的基本概念1. 集合与元素 当我们把一群确定的事物当作整体来考察时，则该整体就

4、叫作集合，或简称集。例如某学校的全体教职员工可视为一个 集合；全体教职员工、教学实验设备等也可视为一个集合，习 惯上，我们常用大写字母、表示集合，集合中 的每一个具体事物叫做这个集合的元素（或简称元），并用大 括号括起来，以表示是一个整体。集合的元素一般用小写字母 、来表示。例如已知集合为A=a1 , a2 , , an说明集合A中含有n个元素。我们又定义集合中元素的个数叫集 合的势或基数，记。当集合中的元素为有限个时，叫有限集合，集 合中的元素为无限时叫无限集合。元素与集合的关系不是属于关系就是不属于关 系，二者必居其一。若是集合的一个元素，即属于，记为 ，若不是集合的一个元素，即不属 于，

5、记为。上述元素与集合的关系可用特征函数来描述 ，即2. 集合的表示方法 集合的表示方法有多种多样。就给定的集合来讲，一般有三种表达形式：()列举法 指把集合中的所有元素一一列举出来的方法。如1,2,3,4, B=b1,b2,b3等。()趋势法 这种表达方法仅适用于集合中元素的排列具有某种规律性，此时只需列举出有限个元素，其余元素可用省略号“”表示。例如：A=,-1,0,1,2,B=a1 , a2 , , an()描述法 又称谓语语句法，这是一种广泛应用的集合表示方法。其一般表达式如下 A=x|p(x)式中：x表示集合元素； p(x)-作为谓语，用以说明x是什么，或在什么范围内变化。例如：x1

6、x 2这里p(x)是说明集合的元素是由,闭区间全体实数组成的。又如：此集合与 完全等价。3. 集合的包含与相等包含关系是用来描述集合与集合之间关系的一种表示方法 。 设有、二集，如果属于的元素全部属于，则称作 的一个子集，或说集包含集，记成 B，或A。其数 学描述如下：一个集合A称为的真子集，则与的关系叫真包含关 系，记成。其数学描述如下：例如：Aa,b,B=a,b,c，则有。根据包含关系，我们可定义两个集合相等的关系式，即(3-3)如果两个集合存在着包含关系的话，不是相等关系，就是真包含关系。(3-3)式则是全面反映了这两种关系。注意：对于两个相等的集合还有以下两个性质：()重复元素没有意义

7、，即1,2,2,4=1,2,4()同一集合不同表达形式当然相等。例如 ：x|x(x-1)=0，=0,1则。4. 几个重要集合 ()空集 指不含有任何元素的集合。其表达式如下：xP(x)P(x)式中谓语P(x)P(x)说明既满足(x)，又满足(x)的 元素是不存在的。因为(x)为，P(x)为F，显然这样的x是 不存在的，故为空集。()单元素集 只含有一个元素的集合叫单元素集，如a， b等。单元素集与单元素是两个完全不同的概念。如“学生 ”做为集合的一个元素，可能是男学生，女学生，也可能是若 干个学生，而学生，则表示学生的全体。 ()全集U 指由论域全体元素组成的集合叫全集，一般记 成U 。其表达

8、式为: U =xP(x)(x)式中的谓语P(x) P(x)与并运算等价。意指满足(x)和 不满足(x)都是集合的元素。(4)幂集 设A为任意有限集合，则包含和在内的 全部子集族称作集合的幂集，记为(A)。例如：当 根据上面的例子，我们归纳给出求幂集势的一般公式如下 因为所以三 直积集顾名思言，直积集可表面理解成两个以上 集合直接相乘而得到的集合。但事实并非完全 如此。直积集又叫序集，它是建立在有序对概 念基础上而定义的新集合，这也是它与普通集 合的本质区别所在。为了给出直积集的一般定 义。我们需首先介绍有序对的概念。1. 有序对在解析几何中我们知道，可用一对有顺序的实数（x，） 来表示平面座标

9、上的一个点。某中规定所在位置叫第一座标 ，代表在轴上的取值；所在位置叫第二座标，代表在轴 上的取值。显然，#!j=1,2,3,4) ，则便求得量化的模糊关系矩阵。假如 通过某种准则对其量化后得到：上面的例子是研究两个集合之间的模糊关系。而在许多情况下是探讨集上的模糊关系，如模糊聚类分析就是如此，即X在这里就是聚类单元全集。设 ，求上的模糊相似关系。很明显，其模糊相似关系矩阵如下：由上式我们可得出如下重要认识：） ,我们定义成反身性，即自己与自己总是相似。） ，我们定义成对称性。）由上面两点可知，集上的相似关系矩阵是个主对角线为的对称矩阵。模糊等价关系聚类分析的目的是把研究对象的组成单元分成 若

10、干个等价类、而任何一个等价类,都满足三个性 质：）反身性）对称性）传递性如一个班级的同学关系就是一个等价类。我们已经知道，集上的模糊相似关系已满足反身性和对称性要求，唯独是否满足传递性还不清楚，因此，还必须在此基础上求出模糊等价关系。模糊等价关系定义如下：设 是上的一个模糊关系，若满足：） 满足反身性） 满足对称性） 满足传递性为了在模糊关系的基础上求模糊等价关系，有如下定理：设 是上的一个模糊关系，且|X|=n，则必有，使下式成立则 便是上的模糊等价关系，记为 （此定理证明从略） 在应用本定理求模糊等价关系时，可取 的偶次幂， 这样可节省大量计算时间，下面举例加以说明。例如，已知如下模糊关系矩阵 显然， 满足反身性和对称性，但是否满足传递性还不得而知，为此要进行矩阵合成运算，即连续求，计算便告结束。这里应当注意的是，模糊矩阵相乘与普通矩阵相乘有很大不同，它应遵循模糊集定义的运算规划，即两个数相乘取极小（运算），多个数相加取极大（运算）。如 矩阵中的第一行与第二列（行）相乘的结果是：另外，考虑对称矩阵的特点，不用将两个相同矩阵并列起 来再行、列相乘，而把列号当成行号即可。本例计算过程及结 果如下：