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1、概率论复习及R相关引言在我们所生活的世界上，充满了不确定性扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单游戏将不确定性数量化，20世纪初叶才开始的. 世间万物的繁衍生息；大自然的千变万化， 面临着不确定性和随机性.已经给人类活动的一切领域带来了一场革命.随机现象是不是没有规律可言?多次重复抛一枚硬币，正面朝上的次数大致一半； 测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐 稳定于一常数.在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某 种规律性.数理统计 研究怎样有效地收集、整理和分 析带有随机性质的数据，以对所观测的问 题作出推断和预测
2、概率论 研究随机现象的统计规律性概率论的起源 赌博 概率论的发展 测度概率论与数理统计的应用和渗透本学科的应用几乎遍及所有科学技术领域、 工农业生产和国民经济的各个部门中. 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否应用3. 寻求最佳生产方案 购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知识就是 排队论 .目前，概率统计理论 进入其他自然科学领 域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域 ，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用 概率统计方法. 正如法国 数学家 拉普拉斯所说 : “ 生活中最重要的问题， 其中绝大多数在
3、实质上只是概率的问题.”机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、第一章 随机事件与概率 1.1 样本空间与随机事件一 .随机试验: 对随机现象进行一次观察和实 验，统称为随机试验。随机实验简称为实验，用E表示 实验E的所有可能结果构成的集合，称为E的样本 空间，用S表示定义 满足某些条件的可能结果所组 成的集合,称为随机事件。随机事 件用大写字母A，B，C表示.在一次试验中，事件A发生的含义 是，当且仅当A中一个样本点(或 基本事件)发生（或出现）。事件 A发生也称为事件A出现 事件的 发生2. 随机事件其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察总机每天9
4、:0010:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间投一枚硬币3次，观察正面出现的次数例 给出一组随机试验及相应的样本空间一. 古典概率1-2 事件的概率（Probability ） 1古典概型定义1 若随机试验满足下述两个条件：(1) 它的样本空间只有有限多个样本点；(2) 每个样本点出现的可能性相同.称这种试验为有穷等可能随机试验 或古典概型.这样就把求概率问题转化为计数问题 .定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n 个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定 义事件A的概率为：称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 .A包含的样本点数P(A)k/nS中的
5、样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具 .二. 几何概率1.定义义 向任一可度量区域G内投一点，如果所投 的点落在G中任意可度量区域g内的可能性 与g的度量成正比，而与g的位置和形状无 关，则称这个随机试验为几何型随机试验 。或简称为几何概型。2. 概率计算 1. P(A)=A的度量/S的度量两人约定于12点到1点到某地会面，先 到者等20分钟后离去，试求两人能会面 的概率？ 例1:解：设x,y分别为甲、乙到达时刻(分钟)令A=两人能会面=(x,y)|x-y|20，x60,y60P(A)=A的面积/S的面积=（602-402）/602=5/9三.概率的频率定义 例2：从同一型号同一批次的反
6、坦克弹中任抽一 发反坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表 “命中”这一事件，求P(A)?1 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是 n次试验中事件A发生的次数。频率 f=m/n 2.频率的稳定性 掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验 中频率P*的波动情况。 （正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度） 3概率的频率定义 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n 次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大 时，如果频率m/n稳定地在某数值p附近摆动， 而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动 的幅度越来越小，称数值p为事件A在这一组不 变的条件下发生的概率，记作P(A)=p
7、.意义:(1) 提供了估计概率的方法;(2)提供了一种检验理论正确与否的准则.设A、B为两事件, P ( A ) 0 , 则 称 为事件 A 发生的条件下事 件 B 发生的条件概率，记为定义设试验的基本事件总数为n，事件A所 包含的基本事件总数为m，事件AB所包含 的基本事件总数为k。1.3 条件概率 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式推广乘法公式某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率 解 令 A 灯泡能用到1000小时B 灯泡能用到1500小时 所求概率为例3 三全概率公式 定义 若事件组B1
8、,Bn,满足： （1）B1,Bn互不相容且P(Bi)0，i=1,n （2）事件B1,Bn,为样本空间的一个划分则对任何事件A，均有上式称为全概率公式 则称事件B1,Bn,为样本空间的一个划分定理Bayes公式全概率公式1.4 事件的独立性例 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次，设第 i 次取得白球为 求事件 Ai ( i =1, 2 ) .解一事件的独立性事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响定义设 A , B 为两事件，若则称事件 A 与事件 B 相互独立 可视为事件A1与A2相互独立q 四对事件任何一对相互独立,则其它三对也相互独立试证其一事实上第一章复习要
9、点 随机试验 样本空间 随机事件 基本事件 频率 概率 古典概型 A的对立事件及其概率互不相容事件的和事件的概率 加法公式 条件概率 概率的乘法公式 全概率公式贝叶斯公式 事件的独立性 n重贝努利试验随机变量离散型连续型分布函数性质分布率表示 方法两者 联系两点二项两者 联系泊松密度函数两者 联系均匀指数正态密度图形N( ,2) 参数意义N(0,1)随机变量 的函数公式方法 一般方法正态标 准化第二章复习提纲第二章 随机变量及其分布为了更好的揭示随机现象的规律性并利用 数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随 机试验的不同结果例 电话总机某段时间内接到的电话次数，可用 一个变量 X 来描述例
10、抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以 用一个变量来描述有了随机变量,随机试验中的各种事件， 就可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义如：单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用X表示，它是一个随机变量.事件收到不少于1次呼叫 X 1 没有收到呼叫 X= 0 2.1 随机变量的概念定义 设E是一随机试验，S 是它的样本空间 ，则称 S 上的单值实值函数 X ( )为随机变量随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母 , , 表示若随机变量的概念如，若用X 表示电话总机在9:0010:00接到 的电话次数，或 表示“某天9:00 10:00 接到的电话 次数超过100次
11、”这一事件则例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往 需要多个指标，例如，身高、体重、头围等S = 儿童的发育情况 X ( ) 身高Y ( ) 体重Z ( ) 头围各随机变量之间可能有一定的关系，也可能 没有关系 即 相互独立随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量 其中一种重要的类型为连续性随机变量定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量 X 的分布函数，记为F ( x ) ,即定义 设 X 为随机变量, 对每个实数 x , 随机事件的概率随机变量的分布函数2.2 离散型随机变量及其概率分布定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量描述离散型随机变
12、量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即概率分布的性质离散型随机变量的概念q 非负性q 规范性F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点， 在间断点处有跃度 pk离散型随机变量的分布函数(1) 0 1 分布X = xk 1 0Pk p 1 - p0 1, the length is taken to be the number required.size: number of trials.prob: probability of success on each trial. log, log.p: logical; if TRUE, proba
13、bilities p are given as log(p). lower.tail: logical; if TRUE (default), probabilities are PX x.Details:The binomial distribution with size = n and prob = p has densityp(x) = choose(n,x) px (1-p)(n-x)for x = 0, ., n.If an element of x is not integer, the result of dbinom is zero, with a warning. p(x)
14、 is computed using Loaders algorithm, see the reference below.The quantile is defined as the smallest value x such that F(x) =p, where F is the distribution function.Value: dbinom gives the density, pbinom gives the distributionfunction, qbinom gives the quantile function and rbinom generates random
15、 deviates. If size is not an integer, NaN is returned.结果： ans = 0.0020y =0.0115 0.0576 0.1369 0.2054 0.2182 0.1746 0.1091 0.0545 0.0222 0.0074 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000输入以下命令： dbinom(k，n，p)例4： 求服从二项分布的随机变量Y分布率的值输入以下命令： dbinom(10,20,0.2) x=0:20; y=dbinom(x,20,0.2) y设.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 x.例7三个人共同负责90台设备发生故障不能及时 维修的概率为d
