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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform幂级数一、函数项级数复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 二、幂级数及其收敛性正幂项级数2.收敛特征Abel定理定理一复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex
2、Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral TransformxyO.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform三、收敛圆与收敛半径利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围 ， 对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种：iii)既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的 正实数. 设
3、(正实数)时, 级数收敛, (正 实数)时, 级数发散.i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理 可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除 z =0 外都是发散的.这时, 级数在 复平面内除原点外处处发散.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral TransformbCbaCaRCROxy显然 时,将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analy
4、sis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform当 由小逐渐变大时, 必定逐渐接近一 个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内 部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的 分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的 外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收 敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级 数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以 为 中心的圆域. 在收敛圆上的收敛性, 则不一定 .复变函数与
5、积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform例1 求幂级数解: 级数实际上是等比级数, 部分和为的收敛范围与和函数.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis a
6、nd Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform收敛半径的求法复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and
7、Integral Transform例2 求下列幂级数的收敛半径复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis
8、and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform四、 幂级数的运算和性质 在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半 径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样 进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的 和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform
9、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform更为重要的是代换(复合)运算这种代换运算, 在把函数展开成幂级数时 , 有着广泛的应用.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Compl
10、ex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral TransformOxyab当|z-a|b-a|=R 时级数收敛复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变
11、函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 泰勒级数z0 Kzrz复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform按柯西积分公式, 有且z0 Kzrz复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral
12、Transform由解析函数高阶导数公式,上式可写成z0 Kzrz复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transformz0 Kzrz在K内成立, 即 f (z)可在K内 用幂级数表达.q与积分变量z无关, 且0q1.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Inte
13、gral TransformK含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform因此, 下面的公式在K内成立:称该等式为f (z)在z0点的泰勒展开式, 它右端的 级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数.圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所 以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(
14、z) 在z0点的泰勒展开式在圆域 |z-z0|d 内成立.复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z0为 D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离,则 当|z-z0|d 时, 注：如果f (z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式 成立的圆域的半径 R 等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点 a 的距离, 即R=|a-z0|. 复变函数与积分
15、变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transformyz0ax任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:把 f (z)在z0点展开成幂级数, 称此为直接展开法复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral
16、Transform例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+.同样, 可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform除直接法外, 也可以借助这些已知函数的展开式, 利用 幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据得出函数的 泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰 勒展开式也可以用间接展开法得出:复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis
