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1、第七章布莱克-舒尔斯期权 定价公式的扩展 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*主要内容n布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷 n交易成本 n波动率微笑和波动率期限结构 n随机波动率 n不确定的参数n跳跃扩散过程 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *B-S模型的缺陷 n交易成本的假设 n波动率为常数的假设 n不确定的参数 n资产价格的连续变动 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *交易成本的
2、影响 n规模效应和交易成本差异化 。n即使是同一个投资者，在调整过程中， 持有同一个合约的多头头寸和空头头寸 ，价值也不同 。Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *H-W-W交易成本模型 基本假设：n投资者投资于欧式期权的组合而不仅仅是单个 期权；n整个投资组合的调整存在交易成本；n投资者的组合调整策略事先确定；n股票价格的随机过程以离散的形式给出；n保值组合的预期收益率等于无风险银行存款利 率 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *H-W-W模型推导n构
3、造无风险组合 n 之后 ,整个组合价值的变化相应减少：n要求交易成本项,关键要获得n值，显然： （7-1）Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *H-W-W模型推导（续）n由Ito引理：n根据无风险假设，有:n将公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：（7-3）（7-2）（7-4 ）Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *对H-W-W方程的理解n 项在实际中具有深刻的金融含义 n 的存在使得H-W-W方程大部分时候是一个非 线性方程n期权多头和空头价值
4、的不一致性 n对于单个期权多头，H-W-W方程实际上是一个以 为波动率的BS公式 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *交易成本的其他模型 n期权组合中的 值不是同一个符号的情形n交易成本不是前述的简单结构，而是资产价格和 调整数量的函数 的情况 nW-W模型Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *波动率微笑和波动率期限结构 n人们通过研究发现，应用期权的市场价格和BS 公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方向 的变动规律：n “波动率微笑”（Volatil
5、ity Smiles）：隐含波动 率会随着期权执行价格不同而不同；n波动率期限结构（Volatility Term Structure） ：隐含波动率会随期权到期时间不同而变化。Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *波动率微笑n对于货币期权而言，隐含波动率常常呈现近似 U形。平价期权的波动率最低，而实值和虚值 期权的波动率会随着实值或虚值程度的增大而 增大，两边比较对称。n股票期权的波动率微笑则呈现另一种不同的形 状，即向右下方偏斜。当执行价格上升的时候 ，波动率下降，而一个较低的执行价格所隐含 的波动率则大大高于执行价格较
6、高的期权。Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *货币期权的波动率微笑与分布Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *股票期权的波动率微笑与分布Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *波动率期限结构n从长期来看，波动率大多表现出均值回归，即 到期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈，随 着到期时间的延长，隐含波动率将逐渐向历史 波动率的平均值靠近。n波动率微笑的形状也受到期权到期时间的影响 。大多时
7、候，期权到期日越近，波动率“微笑 ”就越显著，到期日越长，不同价格的隐含波 动率差异越小，接近于常数 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *波动率矩阵执 行 价 格 剩余有效期0.900.951.001.051.10一个月14.213.012.013.114.5 三个月14.013.012.013.114.2 六个月14.113.312.513.414.3 一年14.714.013.514.014.8 两年15.014.414.014.515.1 五年14.814.614.414.715.0Zheng 2003, Depar
8、tment of Finance, Xiamen University *意义和应用n波动率微笑和波动率期限结构的存在，证明了 BS公式关于波动率为常数的基本假设是不成立 的，至少期权市场不是这样预期的。因此放松 波动率为常数的假设，成为期权理论发展的一 个重要方向。目前主要有两种不同的策略：n从期权市场出发的改良策略 n创新策略 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *随机波动率模型n一般模型n股票风险中性的随机波动率模型 （Hull等）Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen Un
9、iversity *随机波动率对定价的影响n当波动率是随机的，且与股票价格不相关时，欧式期权 的价格是BS价格在期权有效期内平均方差率分布上的积 分值： n在股票价格和波动率相关的情况下，这个随机波动率模 型没有解析解，只能使用数值方法得到期权价格 n波动率随机性质的影响，也会因到期时间的不同而不同 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *GARCH模型nGARCH模型可以分为多种，其中最常见的是 GARCH(1,1)模型：n采用 的形式，用最大似 然估计法估计三个参数 、 和 ，可以进一步 得到 和 的值，并可计算出特定时刻
10、波动率的 大小（7-5）Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *不同时期的权重分布 n对公式7-5的右边右边 重复的迭代过程，可 以得到：n通过适当的变换，我们可以将式（7-6）写作n由于 ，可得未来波动率的预 期值为： （7-6）Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *不确定的参数 n问题：现实生活当中存在着这样的问题：当参 数价值是不确定的时候，如何为期权定价？n解决方法：假设我们知道的这些参数位于某个 特定的区间之内，之后考虑最悲观的情况下我 们的期权至
11、少值多少。用这样的假设和思路， 我们不会计算出期权的某一特定价值，而会发 现期权的价值也将位于某个区间之内 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *不确定的波动率n仍然构造无风险组合，组合价值：n假设 与n考虑最糟糕的情况，可以确定期权的最低值，用公式 表示：Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *期权价值的下限n期权价值下限 满足n其中 ， 且 。 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *期
12、权价值的上限n期权价值上限 满足：n其中 ， 。Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *不确定的利率n考察组合 ，假设： ，则：n此时，我们选择的利率将依赖于 的符号，相 应的方程为：n其中： ，Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *不确定的红利收益率n在连续支付红利的情况下，其推导过程很类似 ，在 的假定下，只要解出：n其中： Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *跳跃扩散过程n所谓的跳
13、跃扩散过程是普通的（路径连续的） 扩散过程和一个在随机时刻发生跳跃的（跳跃 幅度也是随机的）跳跃过程的结合，显然这种 变化过程更能反映现实价格路径，对应的模型 则可以认为是考虑资产价格有不连续的跳跃时 对BS公式的推广 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *资产价格所遵循的跳跃扩散过程 n使用连续布朗运动来反映连续扩散过程，同时 引入泊松过程来描述资产价格的跳跃n 为泊松过程，定义为：n根据Ito引理，可得： Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *跳跃扩散
14、过程的保值组合和期 权定价n仍然考察组合 ，运用Ito引理，包含了跳 跃的组合价值变化为 n如果时刻没有跳跃发生，则 ，那么我们就会选择 来降低风险。如果有跳跃，则 ， 我们仍然可以选择 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *包含了跳跃的期权定价公式 nMerton于1976年提出了一个重要的思想：如果 资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无 关的话，就属于可分散风险，可分散风险不应 该获得期望收益n这个假定，可以得到：Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *跳跃扩散模型的理解n跳跃扩散模型确实反映了BS模型中忽略了的真 实现象，但是它们在现实中却较少使用，BS公 式仍然广泛使用，主要的三个原因是 ：n参数预测很困难 n方程难以求解 n 完全保值的不可能性 Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University *
