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1、一、隐函数的导数三、小结 思考题二、由参数方程所确定的函数的导数第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数一、隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(differentiation of functions represented implicitly)例1解解得例2解所求切线方程为显然通过原点.例3解 对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. 对数求导法 适用范围:例4解等式两边取对数得例5解等式两边取对数得一般地二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问
2、题: 消参困难或无法消参如何求导?(differentiation of functions represented parametrically)由复合函数及反函数的求导法则得例6解所求切线方程为例7解例8解三、小结 思考题隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导;参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;思考题一工厂有x名技术工人和 y 名非技术工人每天 可生产的产品产量为 (件)现有16名技术工人和32名非技术工人, 而厂长计划 再雇用一名技术工人. 试求厂长如何调整非技术工 人的人数, 可保持产品产量不变？解 现在产品产量为f
3、(16,32)=8192件, 保持这种产量的函数曲线为f ( x, y)= =8192对于任一给定值 x 每增加一名技术工人时 y 的变化量即为这函数曲线切线的斜率 .(1)(1)式两端对x求导，整理得：因此厂长要增加一个技术工人并要使产量不变 ,就要相应地减少约4名非技术工人.思考题思考题解答不对练 习 题练习题答案四、随机时间序列模型的估计AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法 较多，大体上分为3类：（1）最小二乘估计；（2）矩估计；（3）利用自相关函数的直接估计。下面有选择地加以介绍。结构 阶数模型 识别确定估计参数 AR(p)模型的Yule Walker方程估计在AR
4、(p)模型的识别中，曾得到： 利用k=-k，得到如下方程组： 此方程组被称为Yule Walker方程组。该方 程组建立了AR(p)模型的模型参数1,2,p与 自相关函数1,2,p的关系， 利用实际时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的估计值：然后利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计值：由于： 于是 , 从而可得2的估计值 在具体计算时，可用样本自相关函数rk替代。 MA(q)模型的矩估计将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用 估计量代替，得到： (*)首先求得自协方差函数的估计值，(*)是一 个包含(q+1)个待估参数 的非线性方程组，可以用直接法或迭代法求解。 常用的
5、迭代方法有线性迭代法和Newton- Raphsan迭代法。（1）MA(1)模型的直接算法对于MA(1)模型，（*）式相应地写成：于是： 或：有：于是有解： 由于参数估计有两组解，可根据可逆性条 件|1|1的MA(q)模型，一般用迭代算法估计参 数：由（*）式得 （*）第一步，给出的一组初值，比如 ,代入（*）式，计算出第一次迭代值 ，第二步，将第一次迭代值代入（*）式，计算 出第二次迭代值 按此反复迭代下去，直到第m步的迭代值 与第m-1步的迭代值相差不大时（满足一定的精 度），便停止迭代，并用第m步的迭代结果作 为（*）的近似解。 ARMA(p,q)模型的矩估计在ARMA(p,q)中共有(
6、p+q+1)个待估参 数1,2,p与1,2,q以及2，其估计量计算步骤及公式如下：第一步，估计1,2,p 是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关 函数rk代替。 第二步，改写模型，求1,2,q以及2的估 计值 将模型： 改写为： 令， 于是(*)可以写成： (*)构成一个MA模型。按照估计MA模型参数 的方法，可以得到1,2,q以及2的估计值。 AR(p)的最小二乘估计假设模型AR(p)的参数估计值已经得到，即有， 残差的平方和为： (*)根据最小二乘原理，所要求的参数估计 值是下列方程组的解： 即 ，j=1,2,p (*) 解该方程组，就可得到待估参数的估计值。 为了与AR(p)模型的Yu
7、le Walker方程估计进行比较，将(*)改写成： j=1,2,p 由自协方差函数的定义，并用自协方差函数的 估计值 。代入，上式表示的方程组即为： 或 ，j=1,2,pj=1,2,p解该方程组，得到： 即为参数的最小二乘估计。Yule Walker方程组的解：比较发现，当n足够大时，二者是相似的。 2的估计值为： 需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别 与估计的讨论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质，因为通过适当的变形，可将包含常 数项的模型转换为不含常数项的模型。下面以一般的ARMA(p,q)模型为例说明。对含有常数项的模型 ：方程
8、两边同减/(1-1-p)，则可得到： 其中，五、模型的检验由于ARMA(p,q)模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此， 如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一白 噪声序列。如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需 重新识别与估计。在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。1、残差项的白噪声检验 可用QLB的统计量进行2检验：在给定显 著性水平下，可计算不同滞后期的QLB值，通 过与2分布表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假设。若大于相应临界值，则应拒绝所估计的模型，需重新识别与估计。 2、AIC与SB
9、C模型选择标准另外一个遇到的问题是，在实际识别 ARMA(p,q)模型时，需多次反复偿试，有可能存 在不止一组（p,q）值都能通过识别检验。显然，增加p与q的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低了自由度。因此，对可能的适当的模型，存在着模型 的“简洁性”与模型的拟合优度的权衡选择问题。其中，n为待估参数个数（p+q+可能存在的 常数项），T为可使用的观测值，RSS为残差平 方和（Residual sum of squares）。常用的模型选择的判别标准有：赤池信息 法（Akaike information criterion，简记为AIC）与 施瓦兹贝叶斯法（Schwartz Bayesian
10、criterion，简 记为SBC）：在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好显然，如果添加的滞后项没有解释能力， 则对RSS值的减小没有多大帮助，却增加待估 参数的个数，因此使得AIC或SBC的值增加。需注意的是：在不同模型间进行比较时，必须选取相同的时间段。由第一节知：中国支出法GDP是非平稳的 ，但它的一阶差分是平稳的，即支出法GDP是 I(1)时间序列。可以对经过一阶差分后的GDP建立适当的 ARMA(p,q)模型。记GDP经一阶差分后的新序列为GDPD1，该新序列的样本自相关函数图与偏自相关函数 图如下：例9.2.3 中国支出法GDP的ARMA(p,q)模型估计图形：样本自相关函数图形呈正弦线型衰减 波，而偏自相关函数图形则在滞后两期后迅速趋 于0。因此可初步判断该序列满足2阶自回归过程 AR(2)。
