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1、 多元函数微分学 2012考研数学培训一、多元函数微分学中的基本概念及其联系考研数学多元函数微分学 多元函数微分学 基 本 题 型二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分 四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数与全微分 五、复合函数求导法变量替换下方程的变形 六、多元函数微分学的几何应用七、方向导数与梯度 八、多元函数的极值与最值问题重难点链式图法的解题步骤 ：(1)依据复合函数的结构，画出链式图； (2)依据链式原理：“联线相乘，分线相加”，写出计算复合函数的(偏)导数的链式公式；(3)计算结果 。而成的二元复合函数的偏导数为 ：复合
2、链式法则考研数学多元函数微分学1、内容提要三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分联线上，依次从左到右,左变量对右变量求导或偏导求导 还是偏导取决于右侧变量的个数，个数超过1个就是求偏导。分线相加画 链 式 图联线相乘写出(偏)导数 公式并计算“联线相乘，分线相加”画链式图考研数学多元函数微分学三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分考研数学多元函数微分学1、内容提要三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分对于抽象函数：要注意函数到底是在对谁求(偏)导，正 确使用(偏)导数符号。 例如：复合函数另外，在求二阶偏导时， 仍然是中间变量u
3、，v的函数，从而仍为自变量x，y的复合函数。考研数学多元函数微分学2、考题选讲数三：2007、二 (13)例1三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分考研数学多元函数微分学2、考题选讲数二：2009、三 (17)例2三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分考研数学多元函数微分学2、考题选讲数三：2003、四题例3三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分考研数学多元函数微分学2、考题选讲数一：2001、四题例4三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分考研数学多元函数微分学2、考题选讲数二：2005、二 (11)例5三
4、、复合函数求导法求带抽象函数记号的复合函数的偏导数与全微分考研数学多元函数微分学1、内容提要四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数与全微分对于一个方程的隐函数求导，解题方法有如下三种：（1）、直接法； （2）、公式法； （3）、利用一阶全微分形式的不变性。一元函数二元函数确定函数从求导后的方程中解出方程(等式)两边逐项对 自变量x，y求偏导数确定函数从求导后的方程中解出方程(等式)两边逐项对 自变量x求导数考研数学多元函数微分学1、内容提要四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数与全微分 直接法确定函数确定函数公式法考研数学多元函数微分学1、内容提要四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数与全微分
5、考研数学多元函数微分学2、考题选讲数二：2010、一(5)例1四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数与全微分考研数学多元函数微分学2、考题选讲数一：1999、三题例2四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数与全微分考研数学多元函数微分学2、考题选讲数三：2008、三 (16)例3四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数与全微分考研数学多元函数微分学2、考题选讲数一：2005、二 (10)例4四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数与全微分考研数学多元函数微分学 内容提要六、多元函数微分学的几何应用考研数学多元函数微分学 内容提要六、多元函数微分学的几何应用考研数学多元函数微分学 内容提要七、方向导数
6、与梯度1. 方向导数沿方向 l (方向角 三元函数 在点的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为考研数学多元函数微分学 内容提要七、方向导数与梯度2. 梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为考研数学多元函数微分学考题选讲数二：2010、三 (19)例五、复合函数求导法变量替换下方程的变形考研数学多元函数微分学1、内容提要八、多元函数的极值与最值问题（）、无条件极值的极值存在的必要条件：一元函数：二元函数：(可导)极值点必为驻点的极值存在的充分条件： 二阶导数小于零时极大二阶导数大于零时极小(必要条件)如果zf(x,y)在点(x0, y0)处有极值，且两个
7、一阶偏导数存在，则它在该点的偏导数必为零，即驻点可能是极值点，可能是偏导数不存在的点。使一阶偏导数为零 的点称为驻点 极值点未必是驻点，考研数学多元函数微分学1、内容提要八、多元函数的极值与最值问题（）、无条件极值(充分条件 )时, 具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令则: 1) 当A0 时取极小值 .2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数且计算二元函数极值的步骤：得到判别函数第二步：计算二阶偏导数第三步：对每个驻点 (x0, y0) ，考查 AC-B2 的符号，判定f(x0, y0)是否为极值；再根据 的符号判别是极大值还是极小值。第一步：解方程组
8、求得一切实数解，即 可得一切驻点。 考研数学多元函数微分学1、内容提要八、多元函数的极值与最值问题（）、无条件极值考研数学多元函数微分学1、内容提要八、多元函数的极值与最值问题（）、条件极值 拉格朗日乘数法设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值.在条件考研数学多元函数微分学1、内容提要八、多元函数的极值与最值问题（）、最值 二元函数最值实际应用问题的解题步骤：（1）根据题意，列出目标函数的解析式；（3）判断该驻点即为所求的最值点(因为由问题的实际意义可知，最值点必然存在，同时驻点是唯一的，故该驻点即为最值点）；（4）算出目标函数的最值。（2）令目标函数的两个偏导数为零得
9、方程组，从而解得目标函数的驻点(通常为唯一驻点）；注：如果所求的目标函数的变量范围包含区域边界，则 需要分区域内部和边界两方面来讨论。内部就是通常的 极值，而边界则通常需要用条件极值来处理。考研数学多元函数微分学2、考题选讲数三：2003、一(2)例1八、多元函数的极值与最值问题基本题目数三：2009、三 (15)极值：数三：2010、三 (17)条件极值：考研数学多元函数微分学2、考题选讲数二：2009、一(3)例2八、多元函数的极值与最值问题考研数学多元函数微分学2、考题选讲数二：2011、一(5)例3八、多元函数的极值与最值问题即数一：2011、一(3)考研数学多元函数微分学2、考题选讲
10、数三：2006、二 (11)例4八、多元函数的极值与最值问题考研数学多元函数微分学2、考题选讲数一：2004、三 (19)例5八、多元函数的极值与最值问题数二：2011、三 (17)同类题【分析】：可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求 出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏 导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值。考研数学多元函数微分学2、考题选讲数二：2005、三 (20)例6八、多元函数的极值与最值问题数四：2005、三 (18)同类题数一：2007、三 (17)考研数学多元函数微分学2、考题选讲数一：2011、三 (16)例7八、多元函数的极值与最值问题数二：2011、三 (17)同类题
