概率及概率空间

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1、1概率及概率空间22.1 概率的定义1.频率 3 概率的性质2 概率的定义3定义：随机事件 : 在一定条件下，对随机现象进行一次实 验的每一个可能结果；必然事件 : 在一定条件下必然要发生的事件，记作 ；不可能事件 : 在一定条件下不可能发生的事件，记 作。基本事件 : 在随机实验中，不能分解的事件；随 机 事 件我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个基本事件在试验中出现返回主目录1. 概率的概念410 包含关系 事件间的关系与运算20 事件的并 30 事件的交50 互不相容事件60 逆事件 SAB返回主目录5SAB20 事件的并 30 事件的交SAB返回主目录6SB SA40 互不相

2、容事件50 逆事件 A返回主目录7随机事件的运算规律交换律:结合律:分配律:反演律（De Morgan定律） :返回主目录82.1.1 频 率 1. 随机事件的发生可能性有大小之分投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大 小令出现点数，出现偶数点，则B比A更 容易出现。2. 频率的定义定义 如果在n次重复试验中事件A发生了nA次，则称 nA/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即fn(A)频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。9大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。3. 频率具有稳定性例1 抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规

3、律。实 验 者NnHfn(H)蒲 丰404020480.5070K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005。 n无穷大 m/n稳定值10频 率 稳 定 值 概率 事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的定义返回主目录114.频率的性质(1) 0fn (A)1; (2) fn () =1；(3) 若A1，A2，An 是两两互不相容的事件，则1.1.2 概率的定义简单说来，随机事件A发生可能性大小的度量（数 值），称为A发生的概率，记作P(A)121. 概率的一般（公理化）定义定义 设E是随机试验，是它的样本空间，对于E的 每一事件A对应于一

4、个实数P(A)，称P(A)为事件A的概 率，若P(A)满足下列三个条件：(1) 0P(A)1; (2) P()=1；(3) 对于两两互不相容的事件A1，A2，有以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列 可加性。利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。13性质1因为由可列可加性故性质2 若A1，A2，An为两两互不相容的事件，则 由可列可加性有 2. 概率的性质14则 P (BA) = P (B) P (A). 证明 由于B =A(BA) 且 A . (BA) = ,P(B) = P(A)+ P(BA), 于是 P(BA) = P(B)P(A). 推论1 (B-A)=P(B)-P(AB)

5、.推论2 若AB, 则P(B)P(A). 性质3 设A，B是两事件，若AB,AB15性质4 对于任一事件A，有 因则有于是有16性质5 设任意两个事件A、B，则 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)证明 由右图可知A B=A (B - AB)且 由概率可加性及性质得P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB）A(B - AB)=，ABB推论1. P(AB ) P(A)+P(B).推论2. 设随机事件A1, A2, A3 , 则1A2A317推论3 设A1，A2，An 是 n 个随机事件， 则18例 1 设事件A、B、AB的概率分别为p、q、r，求P（AB）

6、, P（A ）， P（ B）， P（ ） 解 （1）因为P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB），所以 P（AB）= p+q-r（2）因为A =A-AB且ABA，故P（A 同理可求出P（ （3）因 = ，所以 191.适用的范围广；2.提供了估算概率的方法；3.提供了一种检验理论或假设正确与否的方法 。概率统计定义的优点：1.要确定某事件的概率，就必须进行大量实验，这 在实际中难以办到；2.即使有条件大量实验也无法确切的指出何数为濒率 的稳定值。返回主目录古典概型概率统计定义的不足：20n 当涉及随机变量时，我们必须首先定义概率 空间；也就是说，我们需要设定一个框架来对 偶然性和相应概率进行

7、定义而不用担心一致性 问题。n 概率的定义具有一致性，具有两个条件：（1）（2）概率的一致性问题返回主目录古典概型21n在实际工作中，我们会经常考察有条件的 随机事件，即在一些信息已知的情况下，某 一随机现象的变化。n例如，央行加息后股票价格或债券价格的 涨落情况、国家的税收政策发生变化后投资 回报将如何变动等等，都是典型的条件随机 现象，这就是我们在此拟要考察的条件事件 和条件概率问题。在后面有关鞅的定义和讨 论中，人们会看到条件概率和条件期望更多 的作用。条件概率22在初等概率论中，我们已经学过，当事件B发生时 事件A的概率为P(A/B)= P(AB) / P(B), P(B)0 简称事件

8、B关于事件A的条件概率。其中，A/B表示 条件事件。 然而，上述公式并不全面，因为当事件B已知后，B 的逆 也成为已知信息，人们自然也会关心在已知 情况下事件A的概率，即P(A / )。即使求出P(A / )，也仍存在美中不足的地方，因为信息的最完备形 式是代数，所以只有在考察了由B与生成的 代数(B )下事件A的概率后，才可能对B发生 以后事件A发生的可能性有更深刻、更全面的认识 和了解。为此，需定义和计算P(A/(B )。232425设(, F,P)为概率空间，AF , BF，且P(B)0。 利用公式P(A/B)= P(AB) / P(B)可知，PB=P(/B)是 由事件B和概率测度P诱导

9、出来的、定义在可测空间 (, F)上的概率测度，于是得到一个新的概率空间 (, F,PB)。对(, F,PB)上的随机变量关于概率测 度PB求积分。若该积分存在，则称此积分为已知事 件B发生条件下的条件期望，记为E(|B)，即 E(/B)= (w)dPB = P(dw/B) 条件期望 262.2 概率空间样本空间的概念我们知道：如果某个实验在相同条件下可以重复 进行，每次实验的结果不止一个，而且事前不能 确定，我们就称为随机试验； （1）随机试验的每个可能结果称为事件； （2）不可能再分的事件称为基本事件，常用只包 含一个元素的单点集来表示； （3）由若干基本事件组成的事件称为复合事件， 一般

10、用包含若干个元素的集合表示。 所有基本事件对应的元素的全体组成的集合称为 样本空间，记作；样本空间中的每一个元素称 为样本点。27样本空间是一个必然事件，其逆事件是一个空集。 样本空间可以是一个离散的集合；如抛一枚硬币，分别 用1和2表示正面和反面的事件，则样本空间 =1, 2是由有限个离散点组成的集合。 样本空间也可以是一个连续的区间或空间。考察2004年 我国大学生的就业比率，其基本事件为0, 1区间中每 一个有理数组成的集合，于是样本空间可用区间0, 1 中所有有理数组成的集合表示，是含有无限个样本点的 集合； 考察某三支股票未来价格（分别设为p1，p2，p3）的 变化情况，其基本事件为

11、(p1，p2，p3)，其中p10 ，p20，p30，于是样本空间=( p1，p2， p3)|0 p1 +，0 p2 +，0 p3 +是一个含 有无限点的连续三维空间。样本空间的表示28为了保证考察问题的完备性，避免运算、推理过程出现矛 盾，就需要所考察事件的集合的构成必须遵循一定规则 ，于是引出了代数的概念。简单来讲，代数就是 根据考察和评价的需要从的子集中挑选出的集合（即 事件），并由这些集合按照一定规则构成的集合簇，具 体定义为： 定义1 设为样本空间，F是由的一些子集（或事件） 组成的集合簇，若F满足下列条件： (i) F，即F包含了空间本身； (ii) 若AF，则A的逆事件F ，即如果

12、事件A（A为 的一个子集）属于F， 则A的补集也属于F； (iii)若AiF，i=1, 2, , +，则 AiF，即如果的 可列子集属于F，则这些可列子集的并集也属于F。 则称F 为一个代数。代数的概念 29显然，代数不止一个。对于一个给定的样本空间， 其最小的代数是由空集和构成的，而最大的 代数则由的幂集，即的所有子集构成。最大的代 数由的2个子集组成。 令G为任一子集簇，所有包含G的代数的交是包含G 的最小的代数，称为由G生成的代数，记为(G) 。 由实数集R1中的所有子集(a，b组成的集合蔟而生成的 代数是包含所有R1区间族的最小代数，称为 Borel代数，记作B(R1)。B(R1)包含

13、了R1所有开集和闭 集，也可以看作是从R1的区间开始经过一系列所有可能 的有限和可列集合的并、交、补等运算而获得的。 对于一般的n维Eulid空间Rn，可类似得到Rn的Borel代 数，记作B(Rn)，只不过Rn的区间应为(a,b=（ x1,x2,xn）| ai xibi,a =(a1,a2,an), b=(b1,b2,bn),i=1,2, .代数的概念（续） 30F为的代数表明，F中的元素，即由中元素构成 的、并属于F的事件，是可测的，于是我们将F中的所有 元素称为可测集，将与其可测集簇代数F组成的一 对（, F）称为一个可测空间。 对可测空间（, F），我们需要知道F中的可测集即事 件出现

14、的可能性大小，也就是需要对F中的事件进行评 价和测度。为避免出现矛盾的情况，测度方式也需要按 照一定的规则进行，于是，有 定义2 对可测空间（, F），在F上定义一个函数：F R1称为一个测度，若满足： (i)()=0； (ii)AF，0(A) +； (iii) AiF，i=1, 2, , +，且Ai Aj=（ ），则( Ai)= (Ai)。 可测空间的概念与表示31 对随机事件的测度，人们普遍习惯于用概率测度 ，记为P。概率测度P满足P()=1，P()=0， 并对于AF，皆有0 P(A) 1。 于是，样本空间、的需要测度的代数F与 定义在F上的测度方式、即概率测度P：F0,1 构成的三元体(, F,P)，称为概率空间。 为保持概率空间的完备性，我们常常假设F 包含 了的所有对P可忽略的子集，此时称(, F,P)是 完备的概率空间。所谓对P可忽略的子集，是指对 AF，P(A)=0，则称包含于A的子集为对P可忽 略的子集。完备的概率空间及其表示32为清楚起见，我们将本节定义概率空间的基本思路用图示方法 表示出来