行列式定义及性质

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1、方阵行列式及其性质行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛得用应用.本部分主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法.第一章教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.教学要求：理解行列式的概念，深刻理解方阵与方阵 的行列式的关系，会用行列式的六条性质熟练计算各种类 型的行列式，掌握行列式的展开定理和拉普拉斯定理.教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型 的行列式的各种方法.教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.用消元法求解用消元法求解，得：得：当 时，求得方程组有唯一

2、解：方阵行列式的定义方阵行列式的定义二元线性方程组 1 1 n n阶行列式的引出阶行列式的引出系数矩阵为系数矩阵为方程组的解可以写成：方程组的解可以写成： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记记为为A A的二阶行列式的二阶行列式例例1 1 解二元线性方程组解二元线性方程组解解 由于由于二阶行列式的应用三元线性方程组三元线性方程组用消元法可求得，当用消元法可求得，当时，三元线性方程组有唯一三元线性方程组有唯一解解： 其中：其中： 三阶行列式的定义三阶行列式的定义对角线规则（沙流氏规则)例例2 2 解解 三元线性方程组三元线性方程组解 由于所以，方程组的解为 ， ， . 三阶行列式的应用n n元

3、线性方程组元线性方程组 构造构造： 二、三阶行列式的推广提出三个问题提出三个问题 l（1）D=？（怎么算）？l（2）当D0时，方程组是否有唯一解？l（3）若D0时，方程组有唯一解，解的形式是否是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数l 2.1、全排列l 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：123，231，312，132，213，321.一般地，把n个不同的元素排成一列(n级排列)，共有 几种不同的排法？这是一个全排列问题.从n个元素中任取一个放在第一 个位置上，有n种取法；再从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二 个位置上有n-1种取法

4、;依此类推，直到最后剩下一个元素 放在最后位置上，只有一种取法；于是：机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 2.2 逆序数逆序数对于 n 个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准 次序（例如，n 个不同的自然数 p1, p2, , pn ，规定由小 到大为标准次序）.于是，在这 n 个元素的任意排列中， 当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了 一个逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序 数. 记逆序数是奇数的排列叫做奇排列 逆序数是偶数的排列叫做偶排列 2.3 2.3 逆序数的计算方法逆序数的计算方法 不妨设元素为1至n个自然数，并规定有小到大为标准 次序，设 p1,

5、 p2, , pn 为这n个自然数的一个 n 级排列，考 虑元素pi(i= 1,2, ，n)，如果比 pi 大的，且排在 pi 前 面的元素有ti个，则说这个元素的逆序是ti个，全体 元素逆序之和即是 p1, p2, , pn 的逆序数，即例求其逆序数：例求其逆序数：例例 若若 则则例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为： t=1+3+0+1+0=5 .当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对换（将一个排列中任 意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排 列的手续叫做对换）.通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为t=1+2+

6、0+1+0=4.可见排列 3 2 5 1 4 为奇排列，而 3 1 5 2 4 为偶排列，由此得一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性Pro 2 任意一个n级排列与123n都可经过 一系列对换互变，且所作变换个数与这个排列 有相同的奇偶性。Pro 1 对换改变排列的奇偶性。Proof: 1st对换的两个数在排列中是相邻的2nd一般情况推论：在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相 等，各有n!/2.排列的两个性质Proof：数学归纳法。得到行列式值的特点： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 3. n. n阶行列式的定义阶行列式的定义矩阵元素乘积的代数和，每一项来自不同行不同列 每一项前

7、面还有符号确定方式 当 偶排列时，正号当 奇排列时，负号 定义 设n阶方阵A=（aij)，定义n阶行列式|A|的值为也可记为:作出n阶方阵A=（aij)中位于不同行不同列的n个数的 乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如的项（ 称为行列式的一个均布项） p1, p2, , pn 为自然数1，2，n的一个排列，t 为这个 排列的逆序数.这样的排列共有n!个，所有这些项的代数和 即为n阶行列式的值.行列式的另一种定义形式为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 计算下列行列式值l 同理，也可以定义为:行和列指标行和列指标 地位平等地位平等4 行列式的展开式行列式的展开式由前面的定义可知，每一项都是

8、来自不同行不同列的n个元素乘积 ，故对某一确定行中的n个元素（如 ），每一项都含有 且只含有其中一个元素。故可将n!项分成n组，第j组的项均含有 ，再提公因式 ,得到其中 代表含有 的项在提出公因式后的代数和，且 中不含有 元素 ，即 与第i行第j列元素无关。如三阶行列式可以通过二阶行列式来计算 同理，n 阶行列式可以通过(n1)阶行列式来计算 定义 在n阶行列式D中去掉元素 所在的第i行和第j列，剩下的(n 1)2个元素按原来顺序排列成一个(n-1)阶行列式. 为 的余子式， 为 的代数余子式展开式 该定义适合于常规计算，第一种常适用于证明对角线规则 or 代数余子式选择含零多的 行或列61

9、5 5 几种特殊的行列式几种特殊的行列式l（1） 对角行列式机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义或 展开式l（2） 下（上）三角行列式机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 ，机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证 记D=det(dij)，其中 dij=aij i=1,2,m；j=1,2, ,m.d m+i ,m+j=bij i=1,2,n；j=1,2, ,n.在行列式中任取一个均布项机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于当i m，jm时， dij=0，因此r1,r2, , rm只有在 1,m中选取时，该均布项才可能不为0，而当r1, r2, , rm 在1,m中选取时，rm+1,

10、 , rm+n只能在m+1, ,m+n中选 取. 于是D中可能不为0的均布项可以记为这里，pi=ri , qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 pm(m+q1) ( m+qn) 的逆序数.以t，s分别表示排列p1p2 pm及q1q2 qn的逆序数， 应有l= t + s (pi m)，于是=D1D2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结1、深刻理解行列式的定义.2、熟记行列式3个特殊的公式.方阵行列式的性质方阵行列式的性质k=0推论 若行列式中某一行（列）的所 有元素都是m(大于2)个数的和，则 此行列式可写成m个行列式的和若ri表示第i行，cj表示第j列，则性质中的变换可以用以 下符号

11、表示：下面给出展开式的证明引理 如果n阶行列式中第i行除aij外其他元素全为0，即则分两步展开定理的证明展开定理的证明 几个例题几个例题=9一般地，可以计算请牢记这种 方法，这类 题就这种做 法。若n为奇数，A为反对称矩阵，则n阶行列式 |A|=0 性质 7 设A、B均为n阶方阵，c为常数，则非奇异矩阵：|A|0奇异矩阵：|A|=0方 阵例 设n阶方阵A满足：A2A2E0，证：A为非奇 异方阵A(A-E)=2E注意条件 重要例其中其中A A为为 三阶方阵三阶方阵拉普拉斯（ Laplace）定理k级子式：在一个n级行列式D中任选定k行k列（k n），位 于这些行和列的交点上的k2个元素按照原来的

12、次序组成一个 k 级行列式M，为D的一个k 级子式 k级子式的余子式：当kn时，在D中划去k行k列 后余下元素按原来次序组成的( n-k)级行列式 M和 是一对互余的子式例对矩阵对矩阵 A Amnmn：也：也 有此概念，个数有此概念，个数 为为 C Cmmk k C C n nk k引理 行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中 的每一项都是行列式D的展开式中的一项，且符号也一致拉普拉斯定理 设在行列式D中任意取定了k(1k n-1)个 行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子 式的乘积和等于行列式D是行列式展开式的推广，主是行列式展开式的推广，主 要用于理论证明要用于理论证明推论 两个n级行列式的乘积仍为一个n级行列式 ，即则i.e