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1、第十一章 梁弯曲时的变形1111概述概述1、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用 y 表示。在图示坐标系中，向下的挠度为正，反之为负。 y（挠度）（转角）yx2、转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。 一、梁的变形3、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲 线称为挠曲线。 其方程为： y =f（x）(11-1)4、转角与挠曲线的关系：1、二次积分法1、为进行梁的刚度计算，保证梁的正常工作。二、求梁变形的方法2、叠加法三、计算变形的目的2、为超静定梁的计算作准备。11112 2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方
2、程由曲率与弯矩的关系：而曲率可写作：由上两式可得：MMM0xyxM0MMM 0xy在图示坐标系中，与总是符号相反，故在小变形情况下，对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下 形式：所以，有：式（11-3）就是挠曲线近似微分方程。（11-3）二、求挠曲线方程（弹性曲线）1、微分方程的积分积分一次，积分两次，、变形连续条件：yC左= yC右，ABCPC左= C右yA=0ABA=0yA=0AByB=02、位移边界条件、支座约束条件：解： 建立坐标系并写出弯矩方程。 写出微分方程并积分。例 11-1：图示一弯曲刚度为EI 的悬臂梁， 在自由端受一集中力 F 作用，试求梁的挠 曲线方程，并求最大挠度
3、及最大转角。 ABlFxy 写出转角方程及挠曲线方程 求最大挠度和最大转角。在自由端处，有 应用位移边界条件求积分常数由得C1=0C2=0 得解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为例题11-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度ymax和最大转角max。该梁的边界条件为在 x=0 处 y=0，在 x=l 处 y=0于是有即从而有转角方程挠曲线方程根据对称性可知，两支座处的转角A及B的绝对值相等，且均为最大值，故最大挠度在跨中，其值为y y例 11-3：图示一弯曲刚度为EI 的简支梁，在C点 处受一集中力 F 作用，试求梁的挠曲线方程， 并求C点挠度及A截面转角。aABCF
4、b lxy解： 建立坐标系并写出弯矩方程。BC段弯矩方程为：AC段弯矩方程为： 写出微分方程并积分。AC段:（a）BC段:（b）（c）（d） 应用位移边界条件求积分常数支座约束条件：位移连续条件：得： 写出转角方程及挠曲线方程。AC段:：BC段:： 求指定截面的位移。C点的挠度：A截面的转角：11113 3 叠加法叠加法一、叠加原理：多个荷载同时作用于结构而引起的效应等于每个荷载单独作用于结构而引起的效应的代数和。二、用叠加法求位移步骤：分别求出各项荷载单独作用下梁的位移；将其相应的位移叠加即可。例题11-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点C的挠度和支座处横截面
5、的转角。MelABCABABMe解：此梁上的荷载可以分为 两项简单荷载，如图所示。例题11-5试按叠加原理,求图示弯曲刚度为EI的简支梁的跨中点的挠度和支座处横截面的转角。ABB解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加 ，如图所示。lABCl/2A正对称荷载作用下：ABlABCl/2B A反对称荷载作用下：所以：114 梁的刚度校核一、梁的刚度条件例题5-8 图示悬臂梁AB，承受均布荷载 q 的作用。已知： l=3m，q=3kN/m，梁采用20a号工字钢，其弹性模量E=200GPa ，试校核梁的刚度。AB lqxy解：查得工字钢的惯性矩为:梁的最大挠度为：满足刚度要求。例题11-6 图示悬臂梁AB，承受均布荷载 q 的作用。已知： l=3m，q=3kN/m，梁采用20a号工字钢，其弹性模量E=200GPa ，试校核梁的刚度。AB lqxy二、提高梁刚度的措施1.增大梁的弯曲刚度2.调整跨长和改变结构
