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1、15.4 因式分解:整式的乘法计算下列各式: x(x+1)= ； (x+1)(x1)= .x2 + x x2115.4.1 提公因式法在小学我们知道，要解决这个问题 ，需要把630分解成质数乘积的形式.类似地，在式的变形中，有时需要将 一个多项式写成几个整式的乘积的形式.讨论 630能被哪些数整除?请把下列多项式写成整式乘积的形式.把一个多项式化成几个整式积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分解（ 或分解因式）.想一想：因式分解与整式乘法有何关系?因式分解与整式乘法是互逆过程.(x+y)(xy)x2y2因式分解整式乘法练习一 理解概念判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是 因式分解?(1) x
2、24y2=(x+2y)(x2y)；(2) 2x(x3y)=2x26xy(3) (5a1)2=25a210a+1 ；(4) x2+4x+4=(x+2)2 ；(5) (a3)(a+3)=a29(6) m24=(m+2)(m2) ；(7) 2R+ 2r= 2(R+r).因式分解 整式乘法 整式乘法因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解公因式 公因式：多项式中各项都有的因式 ，叫做这个多项式的公因式；把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形 式，其中m是各项的公因式，另一个因式 (a+b+c)是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分解 因式的方法，叫做提公因式法提公因式法. .怎样分解因式:
3、 .注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； (2)4kx 8ky ； (3)5y3+20y2 ； (4)a2b2ab2+ab .m 4k 5y2ab分析：应先找出 与 的 公因式，再提公因式进行分解.例1分析：(b+c)是这两个式子的公因式, 可以直接提出.例 2 分解因式.因式分解： (1)24x3y18x2y ； (2)7ma+14ma2 ； (3)(3)16x4+32x356x2 ； (4)(4) 7ab14abx+49aby ； (5)(5)2a(y
4、z)3b(yz) ； (6)(6)p(a2+b2)q(a2+b2).1.20042+2004能被2005整除吗? 思考你能将多项式x216 与多项式m 24n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?(a+b)(ab) = a2b2a2b2 =(a+b)(ab)两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积.15.4.2 公式法(1)例3 分解因式:(1) 4x2 9 ; (2) (x+p)2 (x+q)2.分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x29 = (2x )2 3 2，即可用平方差公式分解因式.在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设 x+
5、p=m，x+q=n，则原式化为m2n2.(1)4x2 9 = (2x)2 3 2 (1)= (2x+3)(2x 3).(2)(x+p)2 (x+q) 2(3)= (x+p) +(x+q) (x+p) (x+q)(4)=(2x+p+q)(pq).例4 分解因式:(1)x4y4; (2) a3b ab.分析:(1)x4y4写成(x2)2 (y2)2的形式， 这样就可以利用平方差公式进行因式分解了. (2)a3bab有公因式ab，应先提出公因式, 再进一步分解. 解:(1) x4y4 = (x2+y2)(x2y2)= (x2+y2)(x+y)(xy).(2) a3bab=ab(a2 1)=ab(a+
6、1)(a 1).分解因式 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.练习1.下列多项式能否用平方差公式来分 解因式?为什么?(1) x2+y2 ; (2) x2y2; (3) x2+y2; (4) x2y2.2.分解因式:(1)a2 b2; (2)9a24b2;(3) x2y4y ; (4) a4 +16.思维延伸1. 观察下列各式:3212=8=81;5232=16=82;7252=24=83;把你发现的规律用含n的等式表示出来.2. 对于任意的自然数n，(n+7)2 (n5)2能被24 整除吗? 为什么?思考：你能将多项式a2+2ab+b2 与a22ab+b2分解因 式吗？这两个多项
7、式有什么特点？(a+b)2=a2+2ab+b2,(ab)2=a22ab+b2.两个数的平方和加上（或减去）这两 个数的积的倍，等于这两个数的和（或 差）的平方.a2+2ab+b2=(a+b)2a22ab+b2=(ab)215.4.2 公式法(2)例5 分解因式：(1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2.分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=24x3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32a22a bb2+解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32=(4x+3)2.+解：(2) x2+
8、4xy4y2= (x24xy+4y2)= x22x2y+(2y)2= (x2y)2 .例5 分解因式：(1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2.例6 分解因式:(1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)212(a+b)+36.分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公 因式，再进一步分解.解：(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2 .(2)(a+b)212(a+b)+36=(a+b)22(a+b)6+62=(a+b6)2.将a+b看作一个 整体，设a+b=m, 则原式化为完全 平方式m2 12m+36.练习1.下列多项式
9、是不是完全平方式？为什么？(1) a24a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b1 ; (4)a2+ab+b2. 2.分解因式：(1) x2+12x+36; (2) 2xyx2y2;(3) a2+2a+1; (4) 4x24x+1;(5) ax2+2a2x+a3; (6) 3x2+6xy3y2.应用提高、拓展创新1.把下列多项式分解因式，从中你能 发现因式分解的一般步骤吗？ （1） ； （2） ； （3） ；（4） （5） . 归纳： （1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止.2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除. 今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?作业：习题15.4，2、3、5.
