决策中的收益损失与效用

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1、第四章 决策中的收益、损失与效 用n4.1 决策问题的三要素n4.2 决策准则n4.3 先验期望准则n4.4 损失函数n4.5 常用损失函数n4.6 效用函数14.1 决策问题的三要素决策就是对一件事要作决定.它与推断的差别在于是 否涉及后果.统计学家在作推断时是按统计理论进行的, 很少考虑结论在使用后的损失.可决策者在使用推断结 果时必需与得失联系在一起,能带来利润的就会用,使他 遭受损失的就不会被采用,度量得失的尺度就是损失函 数.它是著名的统计学家A.Wald(1902-1950)在40年 代引入的一个概念.从实际归纳出损失函数是决策的关 键.贝叶斯决策:把损失函数加入贝叶斯推断就形成贝

2、叶斯决策论,损失函数被称为贝叶斯统计中的第四种信息.一、决策的基本概念2例1 设甲乙二人进行一种游戏,甲手中有三张牌,分别标以.乙手中也有三张牌, 分别标以 .游戏的规则是双 方各自独立地出牌,按下表计算甲的得分与乙的得分.甲的得分矩阵(乙的失分矩阵)3-2014-3-4-12这是一个典型的双人博弈(赌博)问题.不少实际问题可归结为 双人博弈问题.把上例中的乙方改为自然或社会,就形成人与 自然(或社会)的博弈问题.3例2 某农作物有两个品种:产量高但抗旱能力 弱的品种 和抗旱能力强但产量低的品种 . 在明年雨量不知的情况下,农民应选播哪个品 种可使每亩平均收益最大?这是人与自然界的 博弈.以明

3、年600mm雨量为界来区分雨量充足 和雨量不充足 .写出收益矩阵(单位:元)1000200-2004004例3 一位投资者有一笔资金要投资.有以下几个投资供他选择:购买股票,根据市场情况,可净赚5000元,但也可能亏损 10000元;:存入银行,不管市场情况如何总可净赚1000元.这位投资者在与金融市场博弈.未来的金融市场也有二种情 况:看涨 与看跌 .可写出投资者的收益矩阵50001000-100001000投资者将依据此收益矩阵决定他的资金投向何方.这种人与自然(或社会)的博弈问题称为决策问题. 5二、决策问题的三要素1. 状态集 ,其中每个元素 表示自然界 (或社会)可能出现的一种状态,

4、所有可能状态的全 体组成状态集.（如例2中的两种状态：雨水充足和 雨水不充足）2. 行动集 ,其中a表示人对自然界可能采取 的一个行动.注意：一般行动集有两个以上的行动供选择.若 有两个行动无论对自然界的哪一个状态出现, 总 比 收益高,则 就没有存在的必要,可把它从行动 集中去掉,使留在行动集中的行动总有可取之处.63.收益函数 。函数值 表示当自然界 处于状态 ,而人们选取行动 时所得到的收益大小。收益函数的值可正可负，其正表示赢利，负表示 亏损，单位常用货币单位。收益函数的建立不是件容 易的事，要对所研究的问题有全面的了解才能建立起 来(P125例4)。收益矩阵74.2 决策准则一、行动

5、的容许性 二、决策准则1.乐观准则2.悲观准则3.折中准则8一、行动的容许性定义：在给定的决策问题中，A 中的行 动a1称为是容许的。假如在A 中不存在满足 如下两个条件的行动a2， 1.对所有的，有Q(,a2)Q(,a1) 2.至少有一个,可使上式不等式严格成立。假如这样的a2存在的话,则称a1是非容 许的;假如二个行动a1和a2的收益函数在上 处处相等,则称行动a1与a2是相等的。9两点说 明：1.一般情况下，行动集中只存在容许行动。 2.上面的讨论是对收益函数而言的，但我们 还可以对支付函数（或亏损函数、成本函 数）进行讨论，此时需要支付函数（或亏 损函数、成本函数）越少越好。例5（P1

6、26）1011二、决策准则1.乐观准则(1)定义：乐观准则也称“好中求好”决策准则， 或称“最大最大”决策准则。这种决策准则就是充分 考虑可能出现的最大利益，在各最大利益中选取最 大者，将其对应的方案作为最优方案。这种决策准 则的客观基础就是所谓的天时、地利和人和，决策 者感到前途乐观，有信心取得每一决策方案的最佳 结果。12(2)乐观准则决策方法的一般步 骤：确定各种可行方案； 确定决策问题将面临的各种自然状态； 将各种方案在各种自然状态下的收益值列于决策 矩阵表中(表4-1)； 求每一方案在各自状态下的最大收益值，将其填 写在决策矩阵表的最后一列； 取 中的最大值 ，所对 应的方案为最佳决

7、策方案。13自然状态 行动方案1 2 na1 a2 am决 策“乐观准则”决策矩阵表表4-114(3)“乐观准则”决策方法的 应用假设某一决策问题的决策收益矩阵表如 下，按乐观准则选取最优方案。8.728.07 8.25 8.727.39 8.07 7.19 8.25 6.96 6.08 6.13 8.72 7.241 2 3决 策a1 a2 a3自然状态行动方案15假设某一决策问题的决策损失矩阵表 如 下，按乐观准则选取最优方案。55 7 6 611 8 8 59 10 7 116 12 10 97 6 12 101 2 3 4 决 策a1 a2 a3 a4自然状态行动方案162.悲观准则(

8、1)定义：悲观准则又称“小中取大”决策准则 或叫“坏中求好”决策准则。这种决策准则 的客观依据是决策的系统功能欠佳，形势 对决策者不利，所以，决策者没有理由希 望获得最理想的结果。面对这种情况，决 策者必须从每一方案的最坏处着想，从每 个方案的最坏结果中选择一个最佳值，即 在所有不利的收益中，选取一个收益最大 的方案作为最优决策方案。17(2)悲观准则决策方法的一般步 骤：若决策矩阵为收益矩阵，则先对每一行动选 出最小的收益，再在所有选出的最小收益中选 取最大值。此最大值对应的行动就是悲观准则 下的最优行动；若决策矩阵为损失矩阵，则先对每一行动选 出最大的损失，再在所有选出的最大损失中选 取最

9、小值。此最小值对应的行动就是悲观准则 下的最优行动；18(3)“悲观准则”决策方法的应用 假设某一决策问题的决策收益矩阵表如 下，按悲观准则选取最优方案。7.197.19 6.08 6.137.39 8.07 7.19 8.25 6.96 6.08 6.13 8.72 7.241 2 3决 策a1 a2 a3自然状态行动方案19假设某一决策问题的决策损失矩阵表 如 下，按悲观准则选取最优方案。1011 10 12 1211 8 8 59 10 7 86 12 11 97 6 12 111 2 3 4 决 策a1 a2 a3 a4自然状态行动方案203.折中准则(1)定义:折中准则又称系数决策准

10、则,是对 悲观准则和乐观准则进行折中的一种决策 准则.是一个依决策者认定情况乐观还是悲 观而定的系数,称为乐观系数.若认定情况 完全乐观,则=1,若认定情况完全悲观,则 =0;一般情况下,则01.21(2)折中准则的基本步骤第一步:确定系数的值; 第二步:对每一行动a计算: 其中 表示行动a的最大收益值, 表示行动a的最小收益值第三步:取行动a0,使H(a0)达到最大,即此种a0就是这种准则下的最优行动.22(3)折中准则决策方法应用案例某工厂预备生产一种新型童车,根据市场需求分析和 估计，产品销路可分为三种状态:1-销路好;2-销路 一般;3-销路差.可供选择的行动方案也有三种:a1,大 批

11、量生产;a2,中批量生产;a3,小批量生产.根据产量多 少和销售情况，工厂的盈利情况也有所不同,可能获利 也可能亏损,将此数值称为损益值.获利时称为收益值, 亏损时称为损失值，用负号表示.现调查得本月的损益 值见下表.试用折中准则作出决策，其中乐观系数=0.6.23新型童车损益 值表自然状态行动方案销路好 1销路一般 2销路差 3大批量生产a13023-15中批量生产a225200小批量生产a312121224解:第一步,确定系数的值=0.6第二步,计算H(a)H(a1)=0.6max(30,23,-15)+0.4min(30,23,-15)=12(万 元)H(a2)=0.6max(25,20

12、,0)+0.4min(25,20,0)=15(万元 )H(a3)=0.6max(12,12,12)+0.4min(12,12,12)=12(万 元) 第三步,计算收益中的最大者H(a0)=max(12,15,12)=15(万元) 所以最佳方案应为中批量生产,即为a2.254.3 先验期望准则一、先验期望准则 (1)定义：对给定的决策问题，若在状态集上 有一个正常的先验分布()，则收益函数 Q(,)对()的期望与方差分别称为先验期望收益和收益的先验方差。26使先验平均收益达到最大的行动a称为先验期望准则下的最优行动。若此种 最优行动不止一个，其中先验方差达到最小 的行动称为二阶矩准则下的最优行动

13、。27几点说明 ：1.定义中的先验分布只能用正常先验分布，而 不能采用广义先验分布。 2.如果在比较先验期望收益的大小时，有两个 或两个以上的行动使先验期望收益达到最大， 这时才需要比较先验方差的大小做出决策。 3.使用合理的先验信息，按照先验期望准则和 二阶矩准则进行决策，所得结果更加可信。28(2)案例分析状态方案较高1一般2较低3a1700250-200 a2980-500-800 a340090-30例1 某厂准备开发一种新产品，有三种方案供选择： a1、a2和a3。预计一年后市场对该种产品的需求量 可分为较高、一般和较低。且预计一年后市场需求量 是高、中、低的主观概率为：(1)=0.

14、6,(2)= 0.3,(3)=0.1,同时算得收益矩阵如下。试用先验 期望准则确定最佳行动方案。29先验期望准则和其他准则的 关系市场需求量1高2中3低悲观准则下1001乐观准则下2100折中准则下30.800.2先验期望准则下0.60.30.130例2 (P125例题4.4) 例3 一卖花姑娘每天从花市按每棵5元购进，而按每 棵10元卖出，当天若卖不完则剩下的花只能当垃圾 。问该姑娘每天购进多少花？出售量(棵/日)频数(日)频率 1440.08 15110.22 16100.20 1770.14 1870.14 1960.12 2050.10 累计501.0031二、两个性质定理4.1 在先

15、验分布不变的情况下，收益函数 的线性变换不会改变先验期望准则下的最优 行动。 定理4.2 设1为状态集的一个非空子集，假 如在1上的收益函数Q(,a)都加上一个常 数c，而在上的先验分布不变，则在先验期 望准则下的最优行动不变。 例4(P138例题4.11)324.4 损失函数1.损失函数的含义这里的损失函数不是负的收益，也不是亏损。例 如，某商店一个月的经营收益为-1000元，即亏1000 元。这是对成本而言。我们不称为损失，而称其为 亏损。我们讲的损失是指“该赚而没有赚到的钱”， 例如该商店本可以赚2000元，但由于某种原因亏了 1000元，那我们说该商店损失了3000元。用这种观 点认识损失对提高决策意识是有好处的。按上述观点从收益函数可以很容易获得损失函数。33例5 某公司购进某种货物可分大批、中批和小批三 种行动，记为 。未来市场需求量可分为高、中 、低三种状态，记为 。三个行动在不同市