数据表示和数制

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1、数据表示和数制一、数制数制是指用一组固定的数字和一套统一的规则来表 示数目的方法。其中两个最基本的概念是：基数(Radix)：一个计数制所包含的数字符号的个数称 为该数制的基数，通常用R表示，如二进制的R为2。位值(权)：任何一个R进制的数都是由一串数码表示的 ，其中每一位数码所表示的实际值大小，除数码本身的 数值外，还与它所处的位置有关，由位置决定的值就叫 位值(或称权，Positional Value)。位值用基数R的i次 幂(Ri)表示。十进制，它由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数字符号组成, 数字符号在不同的数位上表示不同的数值，每个数位均逢十进一。十进制数的基数为10

2、，位权为10的指数次幂。二进制数使用“0”和“1”这两个数字符号，遵循“逢二进一”的原则。例如：0+0=0；1+0=0+1=1；1+1=10；1+10=11；1+11=100。二进制数的基数为2，位权为2的指数次幂。八进制数的数字符号有8个：0、1、2、3、4、5、6、7，“逢八进一”，它的基数为8，位权为8的指数次幂。十六进制数的示数符号有16个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，“逢十六进一”，它的基数为16，位权为16的指数次幂。八进制数和十六进制数均是为了方便书写和阅读时使用的，在计算机内部实际上所有的数均是二进制数。表1.1给出了十进制数字0-15所对应

3、的二、八、十六进制数。表1.1 十进制数与二、八、十六进制数对照表 十进制二进制 八进制 十六进制十进制二进制 八进制 十六进制二、数制之间的转换通常人们习惯在一个数的后面加上一个字母B、D、H、O来区分其前面表示的一个数用的是什么数制。例如： 101.01B表示二进制数101.01；A2BH表示十六进制数A2B等。B：二进制D：十进制H：十六进制O：八进制（1） 非十进制数转换成十进制数利用按权展开的方法，可以将任意数制的一 个数转换成十进制数。例如：将二进制01000001转换成十进制数如 下：01000001B=027+126+025+024+023+022+021+120=64+1=6

4、5D。假定要将125.7O转换成十进制数，其转换过程如下：其转换结果是：125.7O=182+281+580+781=64+16+5+0.875=85.875D。在八进制中，小数点左边的那位的权是1(80)，再左边一位的权是8(81)，依此类推。而小数点右边那些位的权，则是用基数(在此为8)去除，因此紧跟八进制小数点右边那位的权是1/8，即0.125，下一位是1/64，即0.015625。r进制数要转换成十进制数非常简单，只需将每一位数字乘以它的权rn，再以十进制的方法相加就可以得到它的十进制的值。（2）十进制数转换成r进制数十进制整数数据转换成r进制采用的是除r取余法 ，具体过程介绍如下：v

5、（1）将十进制数除r，保存余数。v（2）若商为0，则进行第三步，否则，用商代替 原十进制数，重复第1步。v（3）将所有的余数找出，最后得到的余数作为 最高位，最先得出的余数作为最低位，或者说由 余数逆序排列而成的新的数据就是转换成二进制 的结果。十进制小数数据转换成r进制采用的是乘r取整法 ，具体过程介绍如下： v（1）将十进制数乘r，保存得数中的整数部分。v（2）若得数为0，则进行第三步，否则，用除了 整数部分的小数部分的十进制数代替原十进制数 ，重复第1步。 v（3）将所有的整数找出，最后得到的整数作为 最低位，最先得出的整数作为最高位，或者说由 各整数按顺序排列而成的新的数据就是转换成二

6、 进制的结果。例如把十进制数23转换为二进制数的过程如图1.10所示。【例 】 把0.47 转换成二进制。用线图形式可演算如下：0.470.940.880.760.520.042 整数 0 1 1 1 1K1 K2 K3 K4 K5在取 5 位小数时有(0.47)10=(0. K1K2K3K4K5)2=(0.01111)2（3）二进制数与十六、八进制数的相互转换由于16=24 、8=23，所以在将二进制数转换成十六（八）进制数时，从小数点开始，分别向左和向右每四（三）位二进制数划为一组，用一位十六（八）进制数代替，也称为“以四（三）换一”；十六（八）进制数转换成二进制数时正好相反，一位十六（八

7、）进制数用四（三）位二进制数来替换，也称“以一换四（三）”。例如，要将二进制数1111101011011转换成十六 进制数，其转换过程如下：最终转换结果为：1111101011011B=1F5BH。 例如，要将十六进制数26CE转换成二进制数，其转换过程如下：26CEH=0010011011001110B原码、反码和补码在计算机中，不仅数值用 0 和 1 表示，而且正负号也用 0 和1 表示。一般规定一个存储单元的最高位(最左边的一位)为符号位，如该位是 0 表示正，该位是 1 表示负。在计算机中，带符号的数通常有三种表示方法：原码、反码和补码。为简单起见，下面我们只考虑用一个字节表示整数时的

8、原码、反码和补码。1. 原码原码是一种机器数，原码表示法就是在机器中最高位用 0 表示正数，用 1 表示负数，而其余位表示数本身。例如：+15的原码为： 00001111代表正15的原码为：10001111代表负+0的原码为：000000000的原码为：10000000同一个 0 在计算机中有不同的表示，这不适合计算机的运算。2. 反码在反码表示法中，正、负数的表示是不同的。正数的反码和原码是一样的，如+15的反码仍然是00001111。负数的反码为符号位是 1、其他各位是对原码求反，如15的反码为11110000。数值 0 的反码有两种：+0的反码为00000000， 0的反码为111111

9、11。即在反码表示法中，0 的表示仍然不惟一。3. 补码鉴于以上情况，计算机内部采用补码方法来表示数值。采用补码方法的好处是可以简化设计与计算，把减运算转变为加运算来进行。我们以时钟为例来说明补码的原理。比如现在的标准时间是 6 点，而你的表停在 11 点的位置，如图 1-1 所示。要调准你的表可用两种方法： 向前拨 7 格； 向后拨 5 格。不管采用哪种方法，都能达到目的，可谓殊途同归，但从算式上来看： 11+7=18 (向前拨) 115=6 (向后拨)计算结果并不一样，那么操作结果为什么会一样呢? 这是因为表盘的刻度是以 12 为周期的，超过12 就又从头计数，因此上面的计算结果 18 因

10、超过了 12 ，再从头开始计数后也就得到了 6。这个 12 就称为系统的模数，7 和 5 相对于模数 12 来说称做是互补的，即一个数是另一个数的补码。从上面的计算可以看出，减一个数就等于加上它的补码，效果是相同的，这就是把减法变成加法的原理。在计算机中以一个有限长度的二进制位作为模。比如用一个字节表示一个数，则其模数为 28，如运算结果超过 28，就从中减去 28。反映在内存中，其情况为1 00000000即把 8 位以外的数舍掉。计算机中的补码是这样定义的：正数：其补码与其原码、反码相同。例如：+15补=+15原=+15反=00001111+127补=+127原=+127反=0111111

11、1负数：最高位为 1，其余各位在原码的基础上取反，然后在最低位加 1，简称“求反加 1”。可用如下关系式表示：x补=x反+1注意：各位取反时不包括符号位，即符号位不求反。例如： -15原=10001111 -127原=11111111 -0原=10000000 -15反=11110000-127反=10000000-0反=11111111 -15补=11110001-127补=10000001-0补=00000000因为-0反+1=100000000，把超过 8 位的部分舍掉，则-0补的结果就是00000000，而+0的补码也是00000000，即在补码表示法中，0 的表示是惟一的。在 8 位字长情况下，-128是一个特殊的数，计算机中规定它的表示为 10000000，即它的补码为-128补=10000000我们也可以这样来看一个补码的生成，如表1-2 所示。-127 以前各数的补码既可以按x补=x反+1的公式得到，也可以按在前一个负数补码的基础上减 1 的规则来得到，而按这个规则求出-128 的补码为10000000也就很自然了。