随机变量及其分布

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1、第6次课:随机变量及其分布随机变量的概念 随机变量的分布函数的概率意义与数学性质离散型随机变量的概率函数或分布律连续型随机变量的密度函数分布函数与密度函数的关系习题二（2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) 1试验的所有可能结果构成的集合被称作 样本空间, 而每一个可能的试验结果 构成样本点. 样本点的集合A称作事件, 只包含一个样本点的集合被称作基 本事件.从样本空间到实数集合的一个映射称之 为随机变量, 即每给定一个试验结果或 者样本点, 存在着唯一的一个实数() 与之对应. 这样就建立了一个自变量为 ，函数值则为实数的一个特殊的“函数 “. 2一些随机变量的

2、例子 (1) 一个射手对目标进行射击, 击中目标 记为1分, 未中目标记为0分. 如果用表示 射手在一次射击中的得分, 则它是一个随 机变量, 可以取0和1两个可能的值. (2) 某段时间内候车室的旅客数目记为, 它是一个随机变量, 可以取0及一切不大 于M的自然数, M为候车室的最大容量. (3) 单位面积上某农作物的产量是一个 随机变量, 它可以取一个区间内的一切实 数值, 即0,T, T是一个常数.3按取值情况将随机变量分为两类: (1) 离散型随机变量只可能取有限个 或无限可列个值. (2) 非离散型随机变量可能取任何实 数.而非离散型随机变量中最常用的为连 续型随机变量.4定义 2.

3、1 如果随机变量只取有限个或可列个 可能值, 而且以确定的概率取这些不同的值, 则称为离散性随机变量.为直观起见, 将可能取的值及相应概率列 成概率分布表如下 x1x2xkPp1p2pk此外, 的概率分布情况也可以用一系列等式表 示:P(=xk)=pk(k=1,2,) 这被称作随机变量的概率函数(或概率分布)5其中=x1, =x2, , =xk, 构成一完 备事件组. 因此概率函数具有如下性质:一般所说的离散性随机变量的分布就是 指它的概率函数或概率分布表. 上面两个性质中的性质(2)经常在解题 中构成解方程的一个条件.6例1 一批产品的废品率为5%, 从中任意抽 取一个进行检验, 用随机变量

4、来描述废品 出现的情况. 好写出的分布. 解 用表示废品的个数, 则它只能取0或1 两个值. “=0“表示“产品为合格“, “=1“ 表示“产品为废品“, 则概率分布表如下 01 P0.950.05即P=0=0.95, P=1=0.05, 或可写为 P=k=0.05k0.951-k(k=0,1)7两点分布: 只有两个可能取值的随机变量 所服从的分布, 称为两点分布. 其概率函 数为 P(=xk)=pk(k=1,2) 概率分布表为:x1x2 Pp1p2概率分布图为xp1p2x1x280-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服 从的分布称为0-1分布. 其概率函数为 P( =k)=pk(1-p)

5、1-k(k=0,1) 概率分布表为: 01 P1-pp概率分布图为x1-pp0119例2 产品有一,二,三等品及废品4种, 其一,二,三 等品率和废品率分别为60%, 10%, 20%, 10%, 任 取一个产品检验其质量, 用随机变量 描述检验 结果并画出其概率函数图.解 令“=k“与产品为“k等品“(k=1,2,3)相对应, “=0“与产品为“废品“相对应. 是一个随机变 量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意, P(=0)=0.1 P(=1)=0.6 P(=2)=0.1 P(=3)=0.2 则可列出概率分布表并画出概率分布图.10 的概率分布表为0123 P0.10.60.10.

6、2概率分布图为x01230.11p11例3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况 解 ：令表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1 到6共6个自然数, 相应的概率都是1/6, 列成概率 分布表和概率分布图如下 123456 P1/61/61/61/61/61/661P0123456x12离散型均匀分布如果随机变量有概率函数:则称服从离散型均匀分 布.13例4 社会上定期发行某种奖券, 每券1元, 中奖 率为p, 某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下 次再继续购买1张, 直到中奖为止. 求该人购买 次数的分布.解 “ =1“表示第一次购买的奖券中奖, 依题 意P( =1)=p, “ =2“表示购买两

7、次奖券, 但第一次未中奖, 其概率为1-p, 而第二次中奖, 其概率为p. 由 于各期奖券中奖与否相互独立, 所以 P( =2)=(1-p)p; “ =i“表示购买i次, 前i-1次都未中奖, 而第i 次中奖, P( =i)=(1-p)i-1p.14由此得到的概率函数为 P( =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,)称此分布为几何分布15例5 盒内装有外形与功率均相同的15个 灯泡, 其中10个螺口, 5个卡口, 灯口向 下放着, 现在需用1个螺口灯泡, 从盒中 任取一个, 如果取到卡口灯泡就不再放 回去. 求在取到螺口灯泡之前已取出的 卡口灯泡数的分布.16解 “=0“表示第一个就取到了螺

8、口灯泡, “=1“ 表示第一个取到卡口而第二个才取到 螺口灯泡, 因此P(=0)=10/15=2/3, P(=1)=(5/15)(10/14)=5/21 P(=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273 P(=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273 P(=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/30 03 P(=5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003 概率分布表为012345 P2/35/2120/2735/27310/30031/300317随机变量的分布函数定义 2

9、.2 若是一个随机变量(可以是离 散型的, 也可以是非离散型的), 对任何实 数x, 令 F(x)=P( x) 称F(x)是随机变量的分布函数(因此, 要求出一个随机变量的分布函数 的工作量是很大的, 理论上要算无穷多个 事件的概率才行)18例6 求本节例1中的分布函数 解 在例1中的分布函数如下表所示: 01 P0.950.05其分布函数为19对于一般的0-1分布: 其分布函数为x1-p 011x1-pp011F(x)20例7 求例3中的分布函数F(x) 解：21的概率函数及F(x)的图形为 P0123456x0123456x1F(x)22分布函数与概率函数满足关系:这是因为在一般的公式中,

10、 要考虑x1,x2, 并非按从小到大的次序排列的可能性. 例如, 假设x1=0, x2=-1, x3=1 P(x1)=0.2=p1, P(x2)=0.3=p2, P(x3)=0.5=p3,23这时便有24F(x)的图形为x2x1x3F(x)25F(x), 即事件“x“的概率是x的一个实函数对任意实数x1b时0abx(x)x42综上所述, 最后得分布函数为43F(x)与(x)的图形对照如下 :0abx(x)0abxF(x)144例10 已知连续型随机变量有概率密度求系数k及分布函数F(x), 并计算 P(1.52时,x120x(x)49综合前面最后得120xF(x)50120x(x)120xF(

11、x)将概率密度函数(x)与分布函数F(x)对照51现根据概率密度函数和分布函数分别计算 概率P1.50, 称pij/pj(2)(i=1,2,)为在h=yj 条件下关于的条件分布, 记为显然P=xi|h=yj是非负的, 并且对于所有 的i, 它们的和为1, 同样地, 若pi(1)0, 称为在=xi条件下关于h的分布.67求例1的各个条件分布210100.10.3 10.30.3P1=0|2=0=1/4, P1=1|2=0=3/4 P1=0|2=1=1/2, P1=1|2=1=1/2 P2=0|1=0=1/4, P2=1|1=0=3/4 P2=0|1=1=1/2, P2=1|1=1=1/268例3

12、 求出例2在2=1条件下1的分布1201204/164/161/1614/162/16021/1600101P1|2=1)2/31/369例4某射手在射击中, 每次都击中目标的概 率为p(00, 因此关于1的条件分布为即在第二次命中是在第j次射击的条件下 ,第一次命中是在前j-1次射击中等可能 的离散均匀分布. 同样可得关于2的条件 分布为:73连续型 二元连续型随机变量是用联合概 率密度函数(x,y)来描述的, 它具有性质因此对于平面上任何可积区域S, (, h)落在此 区域内的概率是(x,y)在S上的二重积分, 即74二元概率密度函数(x,y)从图形上看是在xy 平面上方的一个曲面, 包围

13、着下方的体积为 1.75显然, 对任意实数a0, 称为在h = y条件下, 关于的条件概率密 度.而称为在=x条件下, 关于h的条件概率密度80随机变量的独立性 两个随机变量和h是相互独立的, 是 指的其中一个变量取任意值的事件 和另一个变量取任意值的事件总是 相互独立的. 严格的定义为: 定义 2.9 对于任何实数x,y, 如果二元 随机变量(,h)的联合分布函数F(x,y) 等于和h的边缘分布函数的乘积, 即 F(x,y)=F(x)Fh(y) 则称随机变量与h相互独立.81离散型 与h相互独立的充要条件是对一 切i,j=1,2, pij=pi(1)pj(2) 例 如果取值1,2,3的概率为

14、0.2, 0.5, 0.3, 而h取值1,2的概率为0.6, 0.4, 与h相互独 立, 则它们的联合概率分布如下表所示:h12310.120.30.1820.080.20.1282在给定离散型随机变量的概率分布表的 情况下，如果要判定其不独立往往容易 , 只要任找一个pij不等于边缘概率pi(1)和 pj(2)的乘积就可断定其不独立. 经常的快 捷办法就是, 只要发现联合概率分布表 中有0存在, 就基本可以认为这两个随机 变量不独立了. 而如果要判定其独立, 则需要验证每一 个pij是否为各个边缘概率的乘积.83连续型 如和h为连续型随机变量, 则它们相 互独立的充分必要条件为, 对任何实

15、数x, y (x, y)=1(x)2(y)=(x)h(y)当一个二元函数f(x, y)可写成两个单 变量的函数乘积f(x, y)=g(x)h(y)时, 称 其为可分离变量的. 不难证明如果和 h的联合概率密度(x,y)可分离变量的 , 它们就是相互独立的, 反之亦然.84例5 本节例2的两个随机变量1和2是否 相互独立? 1201204/164/161/1614/162/16021/1600解 p22=0p2(1)p2(2)=(1/16)(1/16) 因此1和2不独立.85例6 两个随机变量x1与x2相互独立, 其概率 密度为求它们的联合概率密度. 解: 86第8次课:随机变量及其分布随机变量函数的分布讲评第二章部分习题 习题二（30，32，34，36） 87定义 2.10设f(x)是定义在随机变量的一切可能 值x的集合上的函数. 如果对于的每一 可能取值x, 有另一个随机变量h的相应 取值y=f(x). 则称h为的函数, 记作 h=f().我们的任务是, 如何根据的分布求出h 的分布, 或由(1,2,n)的分布求出 h=f(1,2,n)的分布.88(一) 离散型随机变量函数的分布如果相应的函数f(x)在给定的试验范 围内是单调函数或者存在反函数, 则 h=f()的分布是很容易从的分布中求 出来的, 即当P(=xi)=pi时,