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1、12015 届山东省滕州市新二中第一学期高三 12 月月考数学试题（考试时间：150 分试卷满分 160 分）一、填空题：（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1已知为第二象限角，33cossin，则2cos2已知向量(1,)am ，( ,2)bm , 若a /b, 则实数m等于3设1a ，函数2 ( ), ( )ln4af xxg xxxx，若对任意的12,1, x xe，都有12()()f xg x成立，则实数a的取值范围为4某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 6 组：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90
2、，100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为5盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_6等差数列 na中，其前n项和nS，若217S，则4a的值为7已知实数, x y满足 010yxyx且目标函数byaxz 2)0, 0(ba的最大值是1，则ab的最大值为8函数1)6sin()(xAxf（)0, 0A的最大值为 3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2，则)3(f=29函数axfx131)(（)0x，则“1)
3、1 (f”是“函数)(xf为奇函数”的条件（用“充分不必要”， “必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）10将边长为a的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 BD=a，则三棱锥 D-ABC 的体积为_11过点（，0）引直线l与曲线21xy相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当2AOB 的面积取最大值时，直线l的斜率等于12设ABC是等腰三角形，120ABC，则以AB，为焦点且过点C的双曲线的离心率为13已知R上的可导函数)(xf的导函数)(xf 满足：)(xf )(xf0，且1) 1 (f则不等式)(xf11xe的解是14在平面四边形ABCD中，点FE,分别是边BCAD,的中点
4、，且2AB ，3,2CDEF若AC BD 13，则BCAD的值为二、解答题（共六大题，90 分）15 （本小题满分 14 分）ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c且22sincos212ABC（1）求角C的大小；（2）若向量(3 , )ma b ，向量( ,)3bna ，且mn ，() ()16mnmn ，求, ,a b c的值16 （本题满分为 14 分）已知直三棱柱111CBAABC 的底面ABC中,90C,2BC,21BB,O是1AB的中点，D 是 AC 的中点，M是1CC的中点 , （1）证明：/OD平面CCBB11；（2）试证：1ABBM 317 （本小题满分
5、14 分）已知函数52)(2axxxf（1a） （1）若)(xf的定义域和值域均是a, 1， 求实数a的值；（2）若)(xf在区间2,上是减函数，且对任意的1x，2x1, 1a，总有4)()(21xfxf，求实数a的取值范围18 （本题满分为 16 分）一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比（1）将此枕木翻转 90（即宽度变为厚度） ，枕木的安全负荷如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为21, yy且翻转前后的比例系数相同，都为同一正常数k）（2）现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体
6、形的枕木，其长度为 10，问截取枕木的厚度为d为多少时，可使安全负荷y最大？19 （本题满分为 16 分）椭圆1:2222 by axC)0( ba的左、右焦点分别是21,FF，离4心率为，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为132（1）求椭圆 C 的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为 k 的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线21,PFPF的斜率分别为21,kk，若0k，试证明:2111 kkkk为定值，并求出这个定值20 （本小题满分 16 分）已知axxxxfln)(，2)(2xxg（1）对一切), 0( x，)()(xgxf恒成立，求实
7、数a的取值范围；（2）当1a时，求函数)(xf在3,mm)0(m上的最值；（3）证明：对一切), 0( x，都有exexx211ln成立。5参考答案参考答案一、填空题137 22 32( 2,)e 4 480 5 63 78183 359充要 1032a1211 1223113), 1 ( 1413533二、解答题15解：（1）22sincos212ABC2cos212sincos()cos2ABCABC ， 2 分22coscos10CC ，1cos2C 或cos1C 5 分(0, ),C3C 7 分（2）nm 2 2303ba ，即229ba8 分又16)()(nmnm，169882 2b
8、a，即2 229ba 10 分由可得221,9ab，1,3ab 13 分又2222cos7,cababC7c ，1,3,7abc14 分16证明：（1）连CB1,O为1AB中点，D为AC中点，CBOD1/,2 分又CB1平面CCBB11,OD平面CCBB11,/OD平面CCBB116 分（2）直三棱柱111CBAABC 1CC平面ABCAC平面ABC,ACCC 17 分又BCAC ,BCCC ,1平面CCBB11AC平面CCBB11,BM平面CCBB11BMAC 9 分在BCMRt与BCBRt1中，221BBCB BCCM6BCMRtBCBRt1CBBCBM190111MBBCBMBMBCBB
9、CBBM112 分CBAC1,平面CAB1BM平面CAB1，1AB平面CAB11ABBM 14 分17解：（1）225)()(aaxxf（1a）,)(xf在a, 1上是减函数，2 分又定义域和值域均为a, 1， 1)() 1 (afaf，4 分即 15252122aaaa，解得2a6 分（2）)(xf在区间2,上是减函数，2a，8 分又1, 1aax，且，1) 1(aaaafxf26) 1 ()(max，2 min5)()(aafxf11 分对任意的1x，2x1, 1a，总有4)()(21xfxf，4)()(minmaxxfxf， 13 分即4)5()26(2aa，解得31a，又2a，32 a
10、 14 分18解：（1）安全负荷kladky(221为正常数）翻转222,90ldaky后，2 分ad yy21，当ad 0时，21yy 安全负荷变大4 分当12,0yyda时，安全负荷变小；6 分当ad时，21yy 安全负荷不变 7 分（2）如图，设截取的宽为a，厚度为d，则22222244,)2(RdaRda即71002kady )4(1002 2aRak=)4(40032aaRk（)2 , 0(Rx)0k9 分)34(400322Raky令0 y得：Ra332当)332, , 0(Ra时, 0 y函数y在)332, 0(R上为增函数；当)2 ,332(RRa时, 0 y函数y在)2 ,3
11、32(RR上为减函数；当Ra332时，安全负荷y最大。14 分，此时厚度Rd3615 分答：当问截取枕木的厚度为R36时，可使安全负荷最大。16 分（说明：a范围不写)2 , 0(R扣 1 分）19解：（1）由于 c2a2b2，将 xc 代入椭圆方程1，x2a2y2b2得 y由题意知1，即 a2b22 分b2a2b2a又 e ， 4 分ca32所以 a2，b1 5 分所以椭圆 C 的方程为y21 6 分x24（2）设 P（x0，y0） （y00） ，则直线 l 的方程为 yy0k（xx0） 联立 8 分x24y21，yy0k（xx0），)8整理得（14k2）x28（ky0k2x0）x4（y 2
12、kx0y0k2x 1）02 02 0由题意 0，即（4x ）k22x0y0k1y 0 10 分2 02 0又y 1，2 0所以 16y k28x0y0kx 0，2 02 0故 k 12 分x04y0由（2）知， 15 分1k11k2x0 3y0x0 3y02x0y0所以8，1kk11kk21k(1k11k2) (4y0x0)2x0y0因此为定值，这个定值为8 16 分1kk11kk220解：（1）对一切)()(), 0(xgxfx恒成立，即2ln2xaxxx恒成立也就是xxalnx2在), 0( x恒成立2 分令xxxxF2ln)(，则F2222) 1)(2(2211)(xxx xxx xxx
13、，3 分在) 10( ，上F0)(x，在上上)1 (上F0)(x，因此，)(xF在1x处取极小值，也是最小值，即3) 1 ()(min FxF，所以3a5 分（2）当时，1axxxxfln)(，f 2ln)(xx，由f 0)(x得21 ex 6 分当210em 时，在上 )1,2emx上f 0)(x，在上 3,1(2mex上f 0)(x因此，)(xf在21 ex 处取得极小值，也是最小值2min1)(exf由于0 1) 3)ln(3() 3(, 0)(mmmfmf因此， 1)3)ln(3()3()(maxmmmfxf8 分9当时21 em ，0)( xf，因此 3,)(mmxf在上单调递增，所以) 1(ln)()(minmmmfxf， 1)3)ln(3()3()(maxmmmfxf10 分（3）证明：问题等价于证明), 0(2ln
