《【数学】天津市2015届高三第三次月考试题（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】天津市2015届高三第三次月考试题（理）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1天津市南开中学 2015 届高三第三次月考试题（理）一、选择题（每小题有且只有 1 个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题 5 分，共 40 分) 1. 某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 ( ).A.180 B.240 C.276 D.3002. 已知,m n是两条不同直线, 是两个不同平面,给出四个命题:若,m nnm,则 若,则/ /若,mnmn,则 若/ /m，/ /n，/ /mn,则/ /其中正确的命题是 ( ). A. B. C. D.3. 已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为9 4，底面是边长为3 的正三角形.若P为底面111ABC的
2、中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 ( ).A.5 12B.3C.4D.64. 在平面直角坐标系xoy中，M为不等式组220, 210, 380,xy xy xy 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( ).A.2 B.1 C.1 3D.1 2666主 主 主5主 主 主主 主 主25. 已知1F和2F分别是双曲线22221xy ab (0a ,0b )的两个焦点,A和B是以O为圆心,以1|OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且2F AB是等边三角形,则该双曲线的离心率为 ( ).A.31 2B.31 C. 31 D.2 6. 已知双曲线)0, 0( 1:22221baby
3、axC的离心率为2,若抛物线) 0(2:2 2ppyxC的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为 ( ).A.yx3382 B.yx33162 C.yx82 D.yx162 7. 已知抛物线1C：21 2yxp0p 的焦点与双曲线2C：2 213xy的右焦点的连线交1C于第一象限的点M.若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线，则p ( ).A.3 16B. 3 8C. 2 3 3D. 4 3 38. 已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆于,A B两点。若AB的中点坐标为(1, 1)，则E的方程为 ( ).A.22 14536xyB
4、.22 13627xyC.22 12718xy D.22 1189xyII 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效)二、填空题：(每小题 5 分，共 30 分)9. 已知数列 na的前n项和nS满足12nnSa*nN，且11a ，则通项公式na=_.10. 圆心在直线270xy上的圆C与x轴交于两点( 2,0)A 、( 4,0)B ,则圆C的方程为_.11. 在边长为2的菱形ABCD中,60BAD,E为CD的中点,则3_.AE BD 12. 已知33)6cos(x,则)3cos(cosxx_.13. 已知函数33yxxc的图象与x轴恰有三个公共点,则实数c的取值范围是_.14. 点F是椭圆
5、E：22 1259xy的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若AOBA的面积为9 2，则直线l的斜率是 _.三、解答题：(1518 每小题 13 分，1920 每小题 14 分，共 80 分)15. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1, 2,3, 4,5的5个红球与编号为1, 2,3, 4的4个白球,从中任意取出3个球.()求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； ()记X为取出的3个球中编号的最大值,求X的分布列与数学期望.16. 在ABC中，, ,A B C的对边分别为, , ,a b c且cos, cos, cosaC bB cA成等差数列()
6、求B的值；()求22sincos()AAC的范围17. 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD底面ABCD,且2 2PAPDAD,E、F分别为PC、BD的中点.() 求证:EF/平面PAD； () 求证:平面PAB平面PDC； () 在线段AB上是否存在点,G使得二面角CPDG的余弦值为1 3?若存在，求AG的长度；若不存在，说明理由.18. 已知函数21( )ln(0).2f xxax a()若2,a 求( )f x在(1,(1)f处的切线方程；PFEDCBA4()求( )f x在区间1,e上的最小值；()若( )f x在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取
7、值范围.19. 已知数列 na的前 n 项和11( )22n nnSa （nN）,数列 nb满足2nnnba.（）求证:数列 nb是等差数列，并求数列 na的通项公式；(）1nnanA设数列的前 n 项和为nT，证明：nN且3n 时，nT5 21n n；（）设数列 nc满足1(3 )( 1)nn nna cn ， （为非零常数，nN） ，问是否存在整数，使得对任意 nN，都有1nncc？20. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为1 2，它的一个顶点恰好是抛物线24 3xy的焦点 （）求椭圆C的标准方程；(）若A，B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设点4,0P ，连接PA交椭圆C
8、于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M； （）设O为坐标原点，在(）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S，T两点，求OS OT 的取值范围5参考答案参考答案一、选择题：一、选择题：1 12 23 34 45 56 67 78 8BABCCDDD二、填空题：二、填空题：9 91010111112121313141421,1,13,222n nnan 22(3)(2)5xy112,215 15三、解答题：三、解答题：()X的取值为2,3, 4,5. 1221 2222 3 91(2)21C CC CP XC,1221 2424 3 94(3)21C CC CP XC,1221 2626 3 9
9、3(4)7C CC CP XC,12 18 3 91(5)3C CP XC. 所以X的分布列为 X2345P1 214 213 71 3X的数学期望143185234521217321EX .616. 在ABC中，, ,A B C的对边分别为, , ,a b c且cos, cos, cosaC bB cA成等差数列()求 B 的值；()求22sincos()AAC的范围解：() cos, cos, cosaC bB cA成等差数列，coscos2 cosaCcAbB 由正弦定理，得sincossincos2sincosACCABB，即：sin()sin2ACB，sinsin2BB 又在ABC中
10、，22BBBB或0B， 3B. () 3B，2 3AC222sincos()1 cos2cos(2)3AACAA 13331 cos2cos2sin21sin2cos22222AAAAA 13sin(2)3A 203A，233A3sin(2)123A 22sincos()AAC的范围是1(,132 E为PC中点.在CPA中,EF/PA 7且PA平面PAD,EF 平面PAD / /EFPAD平面 ()证明:因为平面PAD平面ABCD, 平面PAD面ABCDAD ABCD为正方形,CDAD,CD 平面ABCD 所以CD 平面PAD. CDPA 又2 2PAPDAD,所以PAD是等腰直角三角形, 且
11、2APD，即PAPD. CDPDD,且CD、PD面PDC PA面PDC 又PA面PAB, 面PAB 面PDC () 如图,取AD的中点O, 连结OP,OF. PAPD, POAD. 侧面PAD底面ABCD, PADABCDAD平面平面, POABCD平面, 而,O F分别为,AD BD的中点,/OFAB,又ABCD是正方形,故OFAD. 2 2PAPDAD,PAPD,1OPOA. 以O为原点,直线,OA OF OP分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系, 则有(1,0,0)A,( 1,0,0)D ,(0,0,1)P. 若在AB上存在点,G使得二面角CPDG的余弦值为1 3,连结,.PG D
12、G 设(1, ,0)(02)Gaa. 由()知平面PDC的法向量为(1,0, 1)PA . GzyxOPFEDCBA8设平面PGD的法向量为( , , )nx y z .(1,0,1),( 2,0)DPGDa , 由0,0n DPn GD 可得00 200xyz xa yz ,令1x ,则2,1yza , 故2(1, 1)na 22|221cos,434222n PAn PA n PA aa ,解得,1 2a . 所以在线段AB上存在点1(1,0)2G,使得二面角CPDG的余弦值为1 3，此时1 2AG .18. 已知函数21( )ln(0).2f xxax a()若2,a 求( )f x在(
13、1,(1)f处的切线方程;()求( )f x在区间1,e上的最小值;()若( )f x在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取值范围.解:( I)2,a 212( )2ln ,( ),2f xxx fxxx1(1)1,(1),2ff ( )f x在(1,(1)f处的切线方程为112yx ，即2230.xy ()由2 ( ).axafxxxx 由0a 及定义域为(0,),令( )0,.fxxa得 若1,01,aa即在(1,e)上,( )0fx ,)(xf在1,e上单调递增, 因此,( )f x在区间1,e的最小值为1(1)2f. 若21e,1e ,aa即在1,)a（上,( )0fx ,)(xf单调递减;在,e)a（上,( )0fx ,)(xf单调递增,因此( )f x在区间1,e上的最小值为91()(1 ln ).2faaa 若2e,e ,aa即在(1,e)上,( )0fx ,)(xf在1,e上单调递减, 因此,在 f x区间1,e上的最小值为21(e)e2fa. 综上，2 min221, 01,2 1( )1 ln,1,2 1,.2af xaaaeea ae
