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1、 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于 命题的一种方法，若 n0是起始值，则n0是使命题成立的 .正整数最小正整数2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当n 时，验证命题成立；(2)假设n 时命题成立，推证当n 时 命题也成立，从而推出对所有的 命题成立.k1n0(n0N*)k(kn0，kN*)nn0，nN*思考探究数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推.两者缺一不可.1.在应用数学归纳
2、法证明凸n边形的对角线为 n(n3) 条时，第一步检验n等于 ( )A.1 B.2C.3 D.0解析：因为n3，所以，第一步应检验n3.答案：C2.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1)， 在验证n1时，等式左端计算所得的项是 ( )A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a3解析：因为当n1时，an1a2，所以验证n1时，等式左端计算所得的项是1aa2.答案：C3.利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn) 2n13(2n1)，nN*”时，从“nk”变到“nk 1”时，左边应增乘的因式是 ( )A.2k1 B.2(2k1)C. D.解析：当nk(kN*)时，左式为(k1)(k2)(kk
3、)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是 2(2k1).答案：B4.用数学归纳法证明： ， 第一步应验证左式是 ， 右式是 .解析：令n1则左式为1 ，右式为 .答案： 5.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和 f(k1)f(k) .解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).答案：1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题，关键 在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项， 由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加 怎样的项；难点在于寻求等式中nk和nk1时之间 的联系.2.
4、用数学归纳法证明与正整数有关的等式时，通常采用的 步骤为：(1)找出f(k1)与f(k)的递推关系；(2)把归纳假设f(k)g(k)代入；(3)作恒等变形把f(k1)化为g(k1).特别警示 运用数学归纳法需注意以下几点：nn0时，n0的取值；两个步骤，缺一不可；证nk1成立时必须用上归纳假设.对于nN*，用数学归纳法证明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1 n(n1)(n2).思路点拨课堂笔记 设f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立；(2)假设当nk时等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1 k(k1)(k2)，则当
5、nk1时，f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)23(k1)12(k1)1f(k)123k(k1) k(k1)(k2) (k1)(k11) (k1)(k2)(k3).nk1时等式也成立.由(1)(2)可知，当nN*时等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明.特别警示 如果在数学归纳法证题的过程中，没有运用归纳假设，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归
6、纳法.已知数列an，an0，a10， 1 .求证：当nN*时，anan1.思路点拨课堂笔记 (用数学归纳法证明)(1)当n1时，因为a2是方程x2x10的正根，所以a1a2.(2)假设当nk(kN*，k1)时，0akak1，因为( ak21)( ak11)(ak2ak1)(ak2ak11)0，所以ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立.根据(1)和(2)，可知anan1对任何nN*都成立.把题设条件中的“an0”改为“当n2时，an1”，其余条件不变，求证：当nN*时，an1an.证明：(1)当n1时，因为a2是x2x10的负根，所以a1a2.(2)假设当nk(kN*，k1)时，ak10
7、，又ak2ak11 ，(8分)|xn1xn| | |xnxn1|( )2|xn1xn2|( )n1|x2x1| ( )n1.(11分)综上：nN*时，|xn1xn| ( )n1.(12分)自主体验设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点(n， )都在函数f(x)x 的图象上.(1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，分别计算各个
8、括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn，求b5b100的值.解：(1)因为点(n， )在函数f(x)x 的图象上，故 n ，所以Snn2 an.令n1，得a11 a1，所以a12；令n2，得a1a24 a2，所以a24；令n3，得a1a2a39 a3，所以a36.由此猜想：an2n.用数学归纳法证明如下：当n1时，由上面的求解知，猜想成立.假设nk(k1，且kN*)时猜想成立，即ak2k成立，则当nk1时，注意到Snn2 an(nN*)，故Sk1(k1)2 ak1，Skk2 ak.两式相减，得ak12k1 ak1 ak，所以ak14k2ak.由归纳假设得，ak2k，故a
9、k14k22k2(k1).这说明nk1时，猜想也成立.由知，对一切nN*，an2n都成立.(2)因为an2n(nN*)，所以数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，.每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均
10、为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b1006824801988.又b522，所以b5b1002010.1.如果命题p(n)对nk成立，则它对nk2也成立.若p(n) 对n2也成立，则下列结论正确的是 ( )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立解析：由题意nk成立，则nk2也成立，又n2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立.答案：B2.设f(n) ，nN*，那么f(n1) f(n) ( )A. B.C. D.解析：用数学归纳法证明有
11、关问题时，分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然，当自变量取n时，等式的左边是n项和的形式.答案：D3.下列代数式(其中kN*)能被9整除的是 ( )A.667k B.27k1C.2(27k1) D.3(27k)解析：本题考查用数学归纳法证明整除性问题.(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除.(2)假设当kn(nN*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.这就是说，kn1时命题也成立.答案：D4.猜想11,14(12),149123，第n个 式子为 .答案：149(1)n1n2(1)n1(123n)5.设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互 相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则f(4) ；当n4时， f(n) (用n表示).解
