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1、 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于 命题的一种方法,若 n0是起始值,则n0是使命题成立的 .正整数最小正整数2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时,其步骤如下:(1)当n 时,验证命题成立;(2)假设n 时命题成立,推证当n 时 命题也成立,从而推出对所有的 命题成立.k1n0(n0N*)k(kn0,kN*)nn0,nN*思考探究数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么?提示:数学归纳法中两个步骤体现了递推思想,第一步是递推基础,也叫归纳奠基,第二步是递推的依据,也叫归纳递推.两者缺一不可.1.在应用数学归纳
2、法证明凸n边形的对角线为 n(n3) 条时,第一步检验n等于 ( )A.1 B.2C.3 D.0解析:因为n3,所以,第一步应检验n3.答案:C2.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1), 在验证n1时,等式左端计算所得的项是 ( )A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a3解析:因为当n1时,an1a2,所以验证n1时,等式左端计算所得的项是1aa2.答案:C3.利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn) 2n13(2n1),nN*”时,从“nk”变到“nk 1”时,左边应增乘的因式是 ( )A.2k1 B.2(2k1)C. D.解析:当nk(kN*)时,左式为(k1)(k2)(kk
3、);当nk1时,左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1),则左边应增乘的式子是 2(2k1).答案:B4.用数学归纳法证明: , 第一步应验证左式是 , 右式是 .解析:令n1则左式为1 ,右式为 .答案: 5.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k1边形的内角和 f(k1)f(k) .解析:由凸k边形变为凸k1边形时,增加了一个三角形,故f(k1)f(k).答案:1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题,关键 在于弄清等式两边的构成规律:等式的两边各有多少项, 由nk到nk1时,等式的两边会增加多少项,增加 怎样的项;难点在于寻求等式中nk和nk1时之间 的联系.2.
4、用数学归纳法证明与正整数有关的等式时,通常采用的 步骤为:(1)找出f(k1)与f(k)的递推关系;(2)把归纳假设f(k)g(k)代入;(3)作恒等变形把f(k1)化为g(k1).特别警示 运用数学归纳法需注意以下几点:nn0时,n0的取值;两个步骤,缺一不可;证nk1成立时必须用上归纳假设.对于nN*,用数学归纳法证明:1n2(n1)3(n2)(n1)2n1 n(n1)(n2).思路点拨课堂笔记 设f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)当n1时,左边1,右边1,左边右边,等式成立;(2)假设当nk时等式成立,即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1 k(k1)(k2),则当
5、nk1时,f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)23(k1)12(k1)1f(k)123k(k1) k(k1)(k2) (k1)(k11) (k1)(k2)(k3).nk1时等式也成立.由(1)(2)可知,当nN*时等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.对第二类形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个n值开始都成立的结论,再用数学归纳法证明.特别警示 如果在数学归纳法证题的过程中,没有运用归纳假设,不论形式上多么相似,也不能称此证明方法为数学归
6、纳法.已知数列an,an0,a10, 1 .求证:当nN*时,anan1.思路点拨课堂笔记 (用数学归纳法证明)(1)当n1时,因为a2是方程x2x10的正根,所以a1a2.(2)假设当nk(kN*,k1)时,0akak1,因为( ak21)( ak11)(ak2ak1)(ak2ak11)0,所以ak1ak2,即当nk1时,anan1也成立.根据(1)和(2),可知anan1对任何nN*都成立.把题设条件中的“an0”改为“当n2时,an1”,其余条件不变,求证:当nN*时,an1an.证明:(1)当n1时,因为a2是x2x10的负根,所以a1a2.(2)假设当nk(kN*,k1)时,ak10
7、,又ak2ak11 ,(8分)|xn1xn| | |xnxn1|( )2|xn1xn2|( )n1|x2x1| ( )n1.(11分)综上:nN*时,|xn1xn| ( )n1.(12分)自主体验设数列an的前n项和为Sn,对一切nN*,点(n, )都在函数f(x)x 的图象上.(1)求a1,a2,a3的值,猜想an的表达式,并用数学归纳法证明;(2)将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,a8,a9,a10);(a11),(a12,a13),(a14,a15,a16),(a17,a18,a19,a20);(a21),分别计算各个
8、括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn,求b5b100的值.解:(1)因为点(n, )在函数f(x)x 的图象上,故 n ,所以Snn2 an.令n1,得a11 a1,所以a12;令n2,得a1a24 a2,所以a24;令n3,得a1a2a39 a3,所以a36.由此猜想:an2n.用数学归纳法证明如下:当n1时,由上面的求解知,猜想成立.假设nk(k1,且kN*)时猜想成立,即ak2k成立,则当nk1时,注意到Snn2 an(nN*),故Sk1(k1)2 ak1,Skk2 ak.两式相减,得ak12k1 ak1 ak,所以ak14k2ak.由归纳假设得,ak2k,故a
9、k14k22k2(k1).这说明nk1时,猜想也成立.由知,对一切nN*,an2n都成立.(2)因为an2n(nN*),所以数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),.每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号,故b100是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列,且公差为20.同理,由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均
10、为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列,且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68,所以b1006824801988.又b522,所以b5b1002010.1.如果命题p(n)对nk成立,则它对nk2也成立.若p(n) 对n2也成立,则下列结论正确的是 ( )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立解析:由题意nk成立,则nk2也成立,又n2时成立,则p(n)对所有正偶数都成立.答案:B2.设f(n) ,nN*,那么f(n1) f(n) ( )A. B.C. D.解析:用数学归纳法证明有
11、关问题时,分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然,当自变量取n时,等式的左边是n项和的形式.答案:D3.下列代数式(其中kN*)能被9整除的是 ( )A.667k B.27k1C.2(27k1) D.3(27k)解析:本题考查用数学归纳法证明整除性问题.(1)当k1时,显然只有3(27k)能被9整除.(2)假设当kn(nN*)时,命题成立,即3(27n)能被9整除,那么3(27n1)21(27n)36.这就是说,kn1时命题也成立.答案:D4.猜想11,14(12),149123,第n个 式子为 .答案:149(1)n1n2(1)n1(123n)5.设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互 相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4) ;当n4时, f(n) (用n表示).解