《第三节 最大流问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三节 最大流问题（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节第三节 最大流问题最大流问题3.1 基本概念与定理3.2 求解网络最大流的方法（标号法）第三节 最大流问题 n 流量问题在实际中是一种常见的问题 。如公路系统中有车辆流量问题，供电系 统中有电流量问题等等。最大流问题是在 单位时间内安排一个运送方案，将发点的 物质沿着弧的方向运送到收点，使总运输 量最大。3.1 基本概念与定理设cij为弧（i，j）的容量，fij为弧（i，j ）的流量。容量是弧（i，j）单位时间内的最 大通过能力，流量是弧（i，j）单位时间内的 实际通过量，流量的集合f=fij称为网络的流 。发点到收点的总流量记为v=v(f)。设D=(V,A)是一有向图且对任意E均有容量
2、 cij =（vi，vj），记C=cij（vi，vj）A,此外D中只有一个源vs和汇vt( 即D中与vs相关联的 弧只能以 vs为起点，与vt相关联的弧只能以 vt为 终点)，则称D=(V,A,C, vs,vt)为一网络。例6.3.1 图6-3-1给出了一张网络，其中：vs为源 ，vt为汇，弧旁的数字为该段弧的容量cij与流量 fij，则显然有0fij cij 。 最大流问题可以建立如下形式的线性规划 数学模型。图6-3-1最大流问题的线性规划数学 模型为 max v=fs1+fs2所有弧(i,j)由线性规划理论知，满足式上式的约束条 件的解fij称为可行解，在最大流问题中称为可 行流。可行流
3、满足下列三个条件： 条件（2）和条件（3）也称为流量守恒条件。 在图D中，从发点到收点的一条路线称为链 ，从发点到收点的方向规定为链的方向。与链的 方向相同的弧称为前向弧，前向弧集合记为u+ ，与链的方向相反的弧称为后向弧，后向弧集合 记为u-。设f是一个可行流，如果存在一条从发点vs 到收点vt到的链u满足：（1）所有前向弧上fijcijn (2) 所有后向弧上fij0 则称链u为增广链. 设S,TV,ST=,vsS,vtT则称（S，T ）=（vi，vj）viS,vjT为图D的一个割集 ；称C（S，T）= 为割集（S，T） 的容量。显然对任意可行流f及任意割集（S，T） 总有V(f)=C(S
4、,T).故有某个可行流f*及某一割集 （S*，T*）使得V(f*)= C（S*，T*），则f*为D 的最大流，（S*，T*）为最小容量割集。定理6.3.1 图D上的可行流f*是最大流的充要 条件是D上不存在关于f*的增广链。3.2 求解网络最大流的方法（标号法）标号法是一种图上迭代计算方法，该算 法首先给出一个初始可行流，通过标号找出 一条增广链，然后调整增广链上的流量，得 到更大的流量。再用标号找出一条新的增广 链，再调整直到标号过程不能进行下去为止 ，这时的可行流就是最大流。 标号法步骤如下：第一步 找出一个初始可行流fij(0),例如所有弧的流 量fij(0) =0.第二步 对点进行标号
5、找出一条增广链。（1） 起点标号（）（2） 选一个点vi已标号且另一端未标号的弧沿 着某条链向收点检查（a）如果弧是前向弧且有fijcij，则vj标号 j=cijfij（b）如果弧是后向弧且有fij0，则vj标号j=fij当收点已得到标号时，说明已找到增广链 ，依据v的标号反向追踪得到一条增广链。当 收点不能得到标号时，说明不存在增广链，计 算结束第三步 调整流量(1) 求增广链上点的vi标号的最小值，得到调整 量号 =(2) 调整流量fij+ （vi，vj）u+f1= fij （vi，vj)u-fij （vi，vj ) u得到新的可行流f1，去掉所有标号，返回到第 二步从发点重新标号寻找增广链，直到收点不 能标号为止。 例6.3.2用标号法求网络最大流（图6-3-1）， 弧旁数字为（cij ，fij(0)）。 解 （1） 标号过程。见图6-3-2。（2） 增广链为vs，v1，v2，v3，vt （注意 （v2，v1），（v3，v2）u- ）。（3）调整量=2调整后得图6-3-3。（4） 二次标号过程。见图6-3-3。标号无法进行下去，最大流流量V(f*)=3+6=9 ，最小割集（S*，T*）, S*=vs, T*= v1，v2，v3 ，v4，vt。
