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1、一、协方差概念二、协方差性质四、相关系数性质第三节 协方差及相关系数五、小结三、相关系数定义问题的提出 对于二维随机变量(X，Y)来说，数学期望EX， EY仅仅反映了X与Y各自的平均值，而方差DX，DY 也仅反映了X与Y各自离开均值的偏离程度，它们没 有提供X与Y之间相互联系的任何信息。而事实上，从前面的二维随机变量(X，Y)联合 分布律或联合概率密度的讨论，我们知道X与Y之间是存在着密切联系，因此，我们也希望有一个数字 特征能够在一定程度上反映这种联系。这便是本节要讨论的问题。 在方差性质4的证明中，我们已经发现当X与Y独立时，必有 也就是说，当 时， X与Y肯定不独立，由此说明式 在一 定
2、程度上反映了X、Y间的某种联系。 一、协方差概念由定义可知，在离散型场合下的协方差是通过和 式来表示的，即 在连续型场合下的协方差是通过积分来表示的，即 特别，当X =Y 时，有 二、 协方差的性质注：X与Y 独立是式D(X+Y)=DX +DY ，E(XY)=EX EY 成立的充分条件，上两式成立的充要条件是Cov(X，Y)=0。(2) Cov(X ，Y )=E(XY ) EXEY ；注：我们常利用这一式子计算协方差。(3) Cov(X，Y) =Cov(Y，X )；(4)Cov(aX，bY)= abCov(X，Y) ； a，bR(5) Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2
3、，Y)。协方差的数值虽然在一定程度上反映了X与Y相互 间的联系，但它还受X与Y本身数值大小的影响。例如，当X ，Y各自增大k倍，即X1= kX，Y1=kY ，这时X1与Y1间的相互联系和X与Y间的相互联系应 该是一样的，但事实上由性质4知：即表明协方差增大了k2倍。为克服这一个缺点，引入下面的所谓相关系数的定义。三、相关系数的定义顾名思义，相关系数反映了随机变量与之间的相互关系也就是它们相互之间的一种联系。但到底是哪一种联系呢？这是需要进一步弄清的问题。 四、相关系数的性质引理 设(X，Y) 是一个二维随机变量，若EX2 ，EY2 存在，则有 证 考虑一个关于实变量t 的二次函数 因此，二次方
4、程g(t)=0的判别式非正，即有 上述不等式通常称为柯西许瓦兹(CauchySchwarx) 不等式。由这个不等式立即可得：所以，当二维随机变量(X，Y)的两个分量具有方差时，它们间的协方差必定存在，当然相关系数也一 定存在。现在来证明XY的两个重要性质。 定理2 设(X，Y)是二维随机变量，它们的相关系数XY存在，且 (2) |XY|=1的充分必要条件是X与Y以概率1线性相关。 即存在常数a、b，使得 证 (1)令 则对X1，Y1运用上式有 即有|XY |1。 (2)由上式知|X Y |=1等价于 这相当于在引理证明中，二次方程g(t)=0有一个重根t0 。即有： 再由方差的性质5即知上式成
5、立的充分必要条件是 其中a=t0，b=EYt0EX 均为常数。注：（1）由定理的证明可以看出，相关系数XY是衡量随机变量间线性关系的一个度量。更确切地说，应该称它为线性相关系数，只是因为大家习惯了，所以一直称作相关系数。当|XY |=1时， X与Y之间依概率1存在线性关系。 （2）特别，当XY=1时称为正线性相关，当时XY= 1称为负线性相关。当| XY|1时，这种线性相关 程度将随着| XY|的减小而减弱。当XY=0时，就称X 与Y是不相关的。（3）前面曾经指出，当X与Y独立时，若Cov(X，Y)存在，则必有Cov(X，Y)=0，因而此时XY=0，此即表示X与Y一定不相关。反之是否成立呢？回
6、答是否定的，这可从下面的例子看出，即X与Y不相关并不能保证X与Y的相互独立。 例1 已知随机变量X的分布律为 而Y=X2。试证随机变量X与Y不相关但并不相互独立。 证 X与Y不相互独立是显然的，因为Y的值完全由 X的值决定。 故X与Y线性不相关。 从上述例子可以看出，不相关性和独立性是两个不同的概念。在一般情况下并不能从不相关性推出独立性。不过从下述例子可以看出，当(X ，Y )服从二维正态分布时，X与Y的不相关性与独立性是一致的。 解例2结论解例3解 先求X 、Y的边缘概率密度注：也可利用随机 变量函数直接求!例5 解单击图形播放/暂停 ESC键退出(1) 不相关与相互独立的关系注意相互独立
7、不相关(2) 不相关的充要条件单击图形播放/暂停 ESC键退出五、小结相关系数的意义一、基本概念二、n 维正态变量的性质三、小结第四节 矩、协方差矩阵一、基本概念定义由定义知：数学期望EX是X的一阶原点矩；方差DX是X的二阶中心矩；协方差Cov(X，Y)是X，Y的二阶混和中心矩。例1 设随机变量X在(a，b)上服从均匀分布。试求随 机变量X的k阶原点矩和三阶中心矩。 解：3、协方差矩阵协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究由于引入矩阵由此可得由于推广二、n 维正态变量的性质线性变换不变性三、小结2.正态变量是最重要的随机变
8、量，其性质一定 要熟练掌握.一、重点与难点二、主要内容 三、典型例题 第四章 随机变量的数字特征 习 题 课一、重点与难点1.重点数学期望的性质和计算2.难点数字特征的计算方差的性质和计算相关系数的性质和计算二、主要内容数学期望方 差离散型连续型性 质协方差与相关系数二维随机变量的数学期望定 义计 算性 质随机变量函数的 数学期望定 义协方差 的性质相关系数 定理离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望为则有则有数学期望的性质1. 设C是常数, 则有2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有4.
9、 设X, Y 是相互独立的随机变量, 则有二维随机变量的数学期望同理可得则则方差的定义方差的计算离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差方差的性质1. 设 C 是常数, 则有2. 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有协方差与相关系数的定义协方差的性质相关系数定理三、典型例题 解例1解从数字0, 1, 2, , n中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望. 一般的例2解例3某银行开展定期定额有奖储蓄, 定期一年, 定 额60元, 按规定10000个户头中, 头等奖一个, 奖金 500元; 二等奖10个, 各奖100元; 三等奖100个, 各 奖10元; 四等奖1000个, 各奖2元. 某人买了五个户 头, 他期望得奖多少元?解因为任何一个户头获奖都是等可能的,分布列为例4买五个户头的期望得奖金额为 解例5解例6解例7解例8
