无线通信信号处理_第1讲(多速率滤波-续)

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1、第一讲（续） 多分辨率信号处理-小波变换南京邮电大学 郑宝玉 2015.8.2012我们应该都有这样的经历，在餐厅与朋友聊天时，开始觉 得很吵，一会儿后觉得听不到周围其他人的说话声音便不 觉得吵; 然而，倘若我们突然停止谈话，我们很快就会在意周围人们的交谈。很明显，我们的注意力被突然的环境 改变所吸引。我们周围每天都有很多信息在交流，而我们 只将注意力集中在周围环境的突然改变上，这很可能是我 们的感知系统从大量信号中选择重要信息的一种方法。S. Mallat (A Wavelet Tour of Signal Processing)瞬变的世界多分辨率信号处理基础多分辨率信号处理基础v 傅立叶分

2、析局限性及解决办法局限性及解决办法3v 小波分析与滤波器组 傅立叶分析及其局限性 Gabor变换(STFT) 小波变换 v 平稳信号与瞬变信号v 与小波滤波器设计有关的若干问题4平稳信号与瞬变信号 所谓平稳信号（stationary signal）是指信号的统计 特性不随时间变化的信号。 非平稳信号（non-stationary sigal）则是信号统计特性随着时间变化的信号。5平稳信号与瞬变信号6平稳信号与瞬变信号多分辨率信号处理基础多分辨率信号处理基础v 傅立叶分析局限性及解决办法局限性及解决办法7v 小波分析与滤波器组 傅立叶分析及其局限性 Gabor变换(STFT) 小波变换 v 平稳

3、信号与瞬变信号v 与小波滤波器设计有关的若干问题8傅立叶分析及其局限性 人们常常碰到同时需要知道频域信息和时域信息的情况- 人听声音的过程实际上就是一个时频分析的过程- 对某一段随时间变化音频的识别,即分析局部频率分布特性- 对图象的分割也是一种对信号局部频率分布的分析 傅立叶变换可这样理解：一个信号f(t) 用一组基函数来表示,对傅立叶变换来说,其基函数是复数形式的正弦或余弦函数。 使用傅立叶变换, 我们可以在频率域(频域)来分析和解释信号,它以一种不同于时间域(时域)表示的形式来表示信号。 在整个时间域中进行傅立叶变换操作，不能获得随时间变化 的局部频率特性。傅立叶分析假设信号在全局的分布

4、是统计 不变的，它需要时域信息的全体来获得频率信息的分布。傅立叶分析及其局限性傅立叶分析局限性小结9n 典型例子傅立叶变换常用于进行谐波分析或调和分析。但当傅立叶变换结果谐波幅度很小，甚至可能被淹没时，利用传 统的傅立叶变换就很难获得可靠的结果，为此有必要研究信号的局部特性，故引入小波变换。n特点- 定义了频率概念- 分析了信号能量在各频率成分中的分布 n局限 - 只能获得信号的整体频谱特性- 不能获得信号的局部频谱特性- 不能描述和分析非平稳信号Gabor变换 为研究信号的局部特性,引入Gabor变换(STFT) 10 定义： Gx(f, t) = Fx()g(-t) 优缺点- 优点：研究信

5、号的局部特性- 缺点：局部分辨率都一样;时间-频率分辨率相矛盾(测不准)- 原因：使用单一的窗口(基函数)，即基函数不变STFT相当于带宽恒定的滤波器组。 含义： - 把STFT看作是加窗付氏变换;在时刻t, 计算其“所有频率”的分量 - 将STFT看作频率为f的BPFB;在频率f, 在“所有时间”上对其滤波 作用: 将一维信号x(t)映射为时-频平面(t,f)的二维函数 。小波变换11 小波变换的引入为了克服STFT的缺点, 我们希望构造“可变”基函数, 即 构造:- 持续时间很短的高频基函数- 持续时间很长的低频基函数做到：- 在高频区，频率窗口很宽，而时间窗口很窄；- 在低频区，频率窗口

6、很窄，而时间窗口很宽。这时，信号分析滤波器相当于一个相对带宽恒定(常Q)的滤波器组。小波变换就是利用这一思想构造出来的。小波变换12 小波基函数在小波变换中，小波基函数由某函数伸缩平移得到 ：式中 a为标度因子(scaling factor)起着类似于频率的作用h(t) 小波母函数，简称母函数ha,b(t) 小波基函数，简称基函数易见，基函数与标度因子有着密切关系： - 对于大a, 基函数是母函数的展宽型，是一低频函数 - 对于小a, 基函数是母函数的缩小型，是一高频函数小波变换13 小波变换(WT)的定义用小波基ha,b(t)取代富氏变换中的复指数基，即构成WT如图所示。14 在高频区，WT

7、的持续时间较短 在低频区，WT的频率宽度较窄 在中频区，WT与STFT具有相同的时-频分辨率STFTWT由图看见，WT的时-频分辨率是变化的，即 STFT与WT的比较15 共同点：STFT 与WT都可解释为：对每一分析频率f，用中心频率为f 的带通滤波器(组)对信号x(t)滤波的结果 不同点- 在STFT中,带宽f 与中心频率f 无关,f =c (带宽恒定)- 在WT中,带宽f 与中心频率f 有关,f/f =c (相对带宽恒定)小波变换16常用的基本小波(1/10) 171. Haar小波常用的基本小波(2/10) 182. Daubechies小波D4尺度函数与小波 D6尺度函数与小波 常用

8、的基本小波(3/10) 193、双正交小波（双正交B样条小波 ）常用于图形学中。其中尺度函数h是一个三次B样条。常用的基本小波(3/10) 20Daubechies小波双正交小波常用的基本小波(4/10) 214. Morlet小波注意：Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。 Gabor 小波Morlet小波常用的基本小波(5/10) 225. 高斯小波这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴反对称。常用的基本小波(6

9、/10) 236. Marr小波（也叫墨西哥草帽小波） 这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中有重要的应用。 主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局 部化；关于0轴对称。常用的基本小波(8/10) 247. Meyer小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下： 常用的基本小波(9/10) 258. Shannon小波在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩， 不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小 波是频率带限函数，具有好的局部化特性。 常用的基本小波 (10/1

10、0)269. Battle-Lemarie样条小波 Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形如何理解小波变换如何理解小波变换v 波变换傅立叶变换（正弦波）、沃尔什变换（方波） v 窗口变换短时傅立叶变换注意：波变换和窗口变换都是固定基的变换 v 小波变换（任意基）27典型例子： 音乐无线谱：小波变换 五线谱音乐：小波反变换282930 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间 。有利于分析确定时间发生的现象（傅里叶变换只具有频率 分析的性质）小波的优点 小波变换的多分辨率特性，有利于各分辨率中不同特征 的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）31小波特性：小波的时间

11、和频率特性运用小波基,可提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化: 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。 频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分32小波分析的成就 小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。 小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。33小波分析发展历史(1/5)1807年Fo

12、urier 提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论 ”论文341910年Haar 提出最简单的小波小波分析发展历史(2/5)351980年Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探小波分析发展历史(3/5)361985年Meyer 和稍后的1988年Daubeichies提出“正交小波基”，此后, 形成小波研究的高潮。MeyerDaubeichies小波分析发展历史(4/5)371988年Mallat 提出的多分辨度分析(MRA)理论，统一了语音 识别中的镜像滤波，子带编码，图象处理中的金字塔型滤波和 地震分析中短时波形处理等几个不相关的领域。当在某一个分 辨率检测不到的现

13、象, 在另一个分辨率却很容易观察处理。小波分析发展历史(5/5)38小波分析的应用小波变换在数学、物理、信号处理、人工智能、计算 机图象处理、计算机图形学、生物信号处理、模式识 别、计算机视觉、非线性科学、地球科学等二十多个 领域有广泛应用。39小波分析用于图象压缩 采用小波进行压缩。作“小波变换”后，统计特性有 改善，消除行和列之间的相关关系。 有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波系数进行比特分配。然后转换到一维作熵编码，如算术编码或霍夫曼编码。 无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误差。但不能进行比特分配。多分辨率信号处理基础多分辨率信号处理基础v 傅立叶分析局限性及解决办法局限性及解

14、决办法40v 小波分析与滤波器组（重点） 傅立叶分析及其局限性 Gabor变换(STFT) 小波变换 v 平稳信号与瞬变信号v 与小波滤波器设计有关的若干问题小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组 v 预备知识41 小波变换定义的进一步讨论为便于后面讨论，将小波变换定义式写为其中小波基函数为其母函数的伸缩平移：式中标度因子a的大小直接关系母波的展宽和缩小小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组v 预备知识（续）42如令 则上式变为 或式中- 2m 是t的标度因子- 2-mn是t的平移- 2m/2 是归一化因子，以保证小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组 v多分辨率分析43 在多分辨率分析中, Mal

15、lat引入尺度函数(小波“父”函数) （双尺度差分方程,基本递归方程）(4a) 和小波函数(小波“母”函数)：其中 或 构成绝对可积平方空间 的正交基 构成向量空间 的正交基则 构成向量空间 的正交基( 为 的正交补空间)且 设小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组 v 多分辨率分析(续)44v 小波函数 的重要价值: 它的伸缩平移生成 中的一 组正交基 , 从而可将给定函数 进行小波分解：其中1) 2)3) 具有如下性质 与 之间存在如下关系 ：4) 且5) 存在 和 和 分别构成 和 的正交基45小波变换与滤波器组小波变换与滤波器组46v 子波变换与滤波器组在实际应用中, 不必涉及尺度函数或子波函数, 而只需考虑 其系数 和 以及 等, 且其可看作 数字信号(滤波器)。 分析(Analysis)或分解(Decomposition)为了直接对子波变换进行工作,下面导出低尺度级(低分辨率 级)与高尺度级(高分辨率级)之间的关系. 由尺度方程：令