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1、数值分析 Numerical Analysis数值分析毕节学院数学与计算机科学学院赖志柱 2013年03月1数值分析 Numerical Analysis 第二章 插值法 2.1 引言 2.2 拉格朗日(Lagrange)插值 2.3 均差与牛顿插值多项式 2.4 Runge现象与插值多项式的收敛性 2.5 Hermite插值 2.6 分段插值 2.7 反插值2数值分析 Numerical Analysis2.1 引言 2.1.1 插值问题的提出 2.1.2 多项式插值 2.1.3 插值问题的一般提法 3数值分析 Numerical Analysis2.1.1 插值问题的提出 插值法是一个古
2、老而实用的数值方法，它来自生 产实践。 我国隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋 朝刘焯（公元6世纪）将等距二次插值应用于天 文计算。 17世纪，牛顿(Newton)和格雷哥里(Gregory)建 立了等距节点上的一般插值公式。 18世纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上 的插值公式。 4数值分析 Numerical Analysis 近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、 精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理 论上和实践上都得到了进一步的发展，尤其是20 世纪40年代后期发展起来的样条函数(spline)插 值，更获得了广泛应用，成为计算机图形学的基 础。 实际问题中遇到的函数
3、f(x)是多种多样的，有的 表达式很复杂，有的甚至没有给出表达式，只提 供了一些离散点上的函数值或导数值。5数值分析 Numerical Analysis 例如，给定了函数 在 中互异的 个点 的值 ，或者给出了函数的一 个表，我们的任务是根据这个表，寻求一个函数 来逼近 。 6数值分析 Numerical Analysis7数值分析 Numerical Analysis对插值问题的思考 第一步是根据实际问题选择恰当的函数类 ； 第二步是具体构造 的表达式。 当然还得考虑插值问题是否可解，如果有解，解 是否唯一； 插值函数 逼近于 的误差如何估计，即截 断误差的估计 ； 进一步，当插值节点无限
4、加密时，插值函数是否 收敛于 ，即插值收敛问题。8数值分析 Numerical Analysis2.1.2 多项式插值9数值分析 Numerical Analysis 求插值函数 的方法称为插值法，插值点在插 值区间内的叫内插值，否则称为外插值。 10数值分析 Numerical Analysis 若 为分段的多项式，就称为分段插值。 若 为三角多项式，就称为三角插值。 若 为有理分式(函数)，就称为有理插值。 设 或 表示次数 的实系数多项式全体。 11数值分析 Numerical Analysis 定理2.1 满足插值条件（2.1）的 次代数插值 问题的解是存在且唯一的。 提示：采用待定系
5、数法和Vandermonde行列式 直接证明。12数值分析 Numerical Analysis2.1.3 插值问题的一般提法 13数值分析 Numerical Analysis14数值分析 Numerical Analysis定理2.2 满足插值条件（2.4）的 次插值多项式存在且唯一。15数值分析 Numerical Analysis16数值分析 Numerical Analysis17数值分析 Numerical Analysis18数值分析 Numerical Analysis2.2 拉格朗日(Lagrange)插值 2.2.1 Lagrange插值多项式 2.2.2 插值余项及估计
6、2.2.3 线性插值和抛物线插值 2.2.4 截断误差的事后估计法19数值分析 Numerical Analysis 2.2.1 Lagrange插值多项式20数值分析 Numerical Analysis21数值分析 Numerical Analysis22数值分析 Numerical Analysis23数值分析 Numerical Analysis24数值分析 Numerical Analysis 我们称（2.7）式所表示的多项式 为 次 Lagrange插值多项式（或插值多项式的Lagrange 形式），有时也称（2.7）式为 次Lagrange 插值公式。 一般情况下， 次Lagra
7、nge插值多项式是次数 为 的多项式，特殊情况下其次数也可能小于 。 25数值分析 Numerical Analysis26数值分析 Numerical Analysis27数值分析 Numerical Analysis28数值分析 Numerical Analysis2.2.2 插值余项及估计29数值分析 Numerical Analysis30数值分析 Numerical Analysis31数值分析 Numerical Analysis32数值分析 Numerical Analysis33数值分析 Numerical Analysis2.2.3 线性插值和抛物线插值34数值分析 Nume
8、rical Analysis35数值分析 Numerical Analysis36数值分析 Numerical Analysis37数值分析 Numerical Analysis38数值分析 Numerical Analysis 2.2.4 截断误差的事后估计法39数值分析 Numerical Analysis40数值分析 Numerical Analysis2.3 均差与牛顿插值多项式 2.3.1 插值多项式的逐次生成 2.3.2 均差及其性质 2.3.3 Newton插值多项式 2.3.4 差分形式的牛顿插值公式41数值分析 Numerical Analysis2.3.1 插值多项式的逐次
9、生成 拉格朗日插值多项式结构简单紧凑，在理论分析 中比较方便，在数值积分和常微分方程数值方法 中经常使用，但当实际应用中增加或减少插值节 点时，构造插值多项式的基函数需要重新构造。42数值分析 Numerical Analysis 拉格朗日插值零次式为 拉格朗日插值一次式为 上式可看成是零次式的修正，即43数值分析 Numerical Analysis 考察有三个互异节点的二次插值 ，它满足 插值条件 将 表示为 显然它满足 44数值分析 Numerical Analysis 上式中，令 ，得45数值分析 Numerical Analysis46数值分析 Numerical Analysis2
10、.3.2 均差及其性质 定义2.2 设函数 在 个互异点 处的函数值 ，称 为函数 在 上的零阶均差(差商)，称 为 在 上的一阶均差(差商)，称 47数值分析 Numerical Analysis 为 在 上的二阶均差(差商)。一般地，称 (2.16) 为 在 上的 阶均差(差商)，即 函数 的 阶差商的差商称为 阶差商。 48数值分析 Numerical Analysis 在实际计算中，常常采用表2.1所示差商表计算 各阶差商。49数值分析 Numerical Analysis 差商是微商的离散形式，且 差商有下列几个主要性质： 50数值分析 Numerical Analysis51数值分
11、析 Numerical Analysis52数值分析 Numerical Analysis 2.3.3 Newton插值多项式53数值分析 Numerical Analysis54数值分析 Numerical Analysis55数值分析 Numerical Analysis Newton插值公式中各项系数即为 的各阶差商 ，且Newton插值多项式满足下述递推关系式 （2.21） 56数值分析 Numerical Analysis 例2.6 已知 处的函数值 为作4次Newton插值多项式。 解：首先作差商表如下57数值分析 Numerical Analysis 从而4次Newton插值多项
12、式为 58数值分析 Numerical Analysis2.3.4 差分形式的牛顿插值公式59数值分析 Numerical Analysis60数值分析 Numerical Analysis 性质1 常数的向前差分为0。 性质2 差分算子为线性算子。61数值分析 Numerical Analysis62数值分析 Numerical Analysis性质6 函数值与向前差分可以相互线性表出。63数值分析 Numerical Analysis 在牛顿插值公式（2.19）中，利用性质7的差分 代替均差。当 接近节点头时，令 则 此时（2.23） 64数值分析 Numerical Analysis（2
13、.24） 65数值分析 Numerical Analysis 而余项为 我们称（2.24）式为牛顿（Newton）向前差分 插值公式。 （2.25） 66数值分析 Numerical Analysis67数值分析 Numerical Analysis68数值分析 Numerical Analysis69数值分析 Numerical Analysis70数值分析 Numerical Analysis 2.4 Runge现象与插值多项式的收敛性 71数值分析 Numerical Analysis72数值分析 Numerical Analysis73数值分析 Numerical Analysis74数值分析 Numerical Analysis75数值分析 Numerical Analysis几点启示 （1）节点的加密并不能保证在两点间插值函数 很好地逼近 。 在实际应用中，高次插值 很少被采用。 （2）考虑寻求新的函数类作插值函数。 对Runge引例来说， 是一个有理分式 ，可考虑用有理分式作插值函数，这就是
