D多元函数微分法及其应用

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1、微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 多元函数微分法及其应用第9章推广一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 第9章 第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念 微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 一、 区域1. 邻域点集称为点 P0 的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域记为微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 在讨论实际问题中也常使用方邻域,

2、平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 2. 区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点 .的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 (2) 聚点若对任

3、意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .E 的边界点 )微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;微积分微积分( (二二) ) 教案

4、教案 第第6 6版版 例如，在平面上开区域闭区域微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 整个平面 点集 是开集，是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .o 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域 .否则称为无微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 3. n 维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标 .记作即一个点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O .微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 的

5、距离记作中点 a 的 邻域为规定为 与零元 O 的距离为微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 二、多元函数的概念 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域 ; 数集称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 例如, 二元函数定义域为圆域说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中

6、心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 三、多元函数的极限定义2. 设 n 元函数 点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作 ：P0 是 D 的聚 若存在常数 A ,对一记作都有对任意正数 , 总存在正数 ,切微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 例1. 设求证 ：证:故总有要证 微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 例2. 设求证：证 ：故总有要证微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 若

7、当点趋于不同值或有的极限不存在，解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例3. 讨论函数函数微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 例4. 求解: 因而此函数定义域 不包括 x , y 轴则故微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .微积分微积分( (二

8、二) ) 教案教案 第第6 6版版 四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续, 此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数上间断.故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得

9、最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 解: 原式例5.求例6. 求函数的连续域.解:微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 内容小结1. 区域 邻域 : 区域连通的开集 2. 多元函数概念 n 元函数常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 有3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性 1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;

10、最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P 题 3; 4思考与练习微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 解答提示:P11 题 2. 称为二次齐次函数 .P11 题 4.P11 题 5(3).定义域P11 题 5(5).定义域微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 P12 题 8.间断点集P72 题 3.定义域P72 题 4. 令 y= k x ，若令, 则 可见极限不存在微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 作业(9-1)P63 5 (2), (4), (6)

11、并画出6 (3), (5), (6) 7.9.*微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 备用题1. 设求解法1 令微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 1 . 设求解法2 令即微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 2.是否存在？解：所以极限不存在.微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 3. 证明在全平面连续.证:为初等函数 , 故连续.又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 第二节一、 偏导数概念及其计算二 、高阶偏导

12、数 偏 导 数 第9章 微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 一、 偏导数定义及其计算法引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.x0 处,关于 t 的将振幅微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 同样可定义对 y 的偏导数若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数 , 记为或 y 偏导数存在 ,

13、微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .偏导数定义为(请自己写出)微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意 ：但在该点不一定连续.在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!微积分微积分( (二二) ) 教案

14、教案 第第6 6版版 例1 . 求解法1:解法2:在点(1 , 2) 处的偏导数.微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 例2. 设证:例3. 求的偏导数 . (P14 例4)解:求证微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 偏导数记号是一个例4. 已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数 ，则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .

15、 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 例5. 求函数解 :注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 例如,二者不等微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 例6. 证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性 , 有方程微积分微积分( (二二) ) 教案教案 第第6 6版版 则定理.例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.