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1、 第4章根轨迹分析法 w41 根轨迹的基本概念 w4. 2 绘制根轨迹图的基本法则 w4. 3 控制系统根轨迹的绘制 w44 控制系统的根轨迹分析w闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特 征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统 其特征方程一般为高阶，求解困难。1948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图 解方法根轨迹法。 在开环零、极点分布已知的情况下，绘制闭环 极点随系统参数变化而在s平面上移动的轨迹（ 根轨迹）。用途： 对系统的性能进行分析； 确定系统应有的结构、参数； 进行设计和综合。41 根轨迹的基本概念 w一、根轨迹图 w1.定义： w根平面：在一个复平面（s平面）上标出开环零
2、、极点，并根据 此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根平面。 根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为kg）变化时，闭环特征 根在根平面上所走过的轨迹。2.用解析法绘制根轨迹 已知：系统开环传递函数 开环有两个极点： p1= 0， p2=2开环没有零点。（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = 2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0kg1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = 1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1kg时，s1，2 =1 ，两个闭环 极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随k
3、g变 化，其位于过（1，0）点且平行于虚袖的直线上 。 （5）当kg时， s1 = 1+ j、s2 = 1j， 此时s1、s2将趋于无限远处。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 解得闭环特征根（亦即闭环极点） ； 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。当kg 从0变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹（p122表4-1 ）可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能： （1）根轨迹增益kg从0时，根轨迹均在s平面左半部，在所有的kg 值下系统都是稳定的。 （2）当01时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态,其阶跃 响应为衰减的振荡过程。 （5）有
4、一个为0的开环极点，系统为型系统，其阶跃作用下的稳 态误差ess为零。由上述分析过程可知，通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性 能和稳态性能进行分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘 出系统的根轨迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。为了解决这个 问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函数 直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的。 二、根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于在s平面寻找闭环特征根的位置。闭环传递函数为闭环特征方程为 即m个开环零点n个开环极点 （根轨迹方程）kg：根轨迹增益在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、 s，都是闭环
5、特 征根，即闭环极点。三、根轨轨迹的幅值值条件方程和相角条件方程 为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。幅值条件：相角条件：相角条件方程和kg无关，s平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必 定同时满足幅值条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的kg时的闭环极点 ，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。四、幅值值条件和相角条件应用 解 ：不符合相角条件， s1不在根轨迹上 。s2：满足相角条件， s2在根轨迹上 。1.用相角条件求根轨迹（试探法） 相角条件：例：已知系统的开环传递函数如下，试判断 ， 是否在根 轨迹上。s1 ：2. 用幅植条件确定kg的值解 ：幅值条件：例：求上例中根轨迹上
6、 点对应的kg 。、 也可以用直尺测量向量的长度 。 42 绘制根轨迹的基本规则 w由开环零、极点当kg为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。一、连续性是kg或其它参数的连续函数。当kg从0+连续变化时，闭环极点连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线 或直线。 二、对称性线性系统特征方程系数均为实数，闭环极点均为实数或共轭复数（包括 一对纯虚根），根轨迹对称于实轴。三、根轨迹的分支数开环传递函数为n阶，故开环极点和闭环数都为n个，当kg从0+变化时，n个 根在s平面上连续形成n条根轨迹。一条根轨迹对应一个闭环极点随kg的连续变化轨迹。根轨迹的分支数=系统的阶数四、 根轨迹的起点和终点 由幅值条件有 ：
7、1.起点：kg=0，等式右边= ，仅当 成立n条根轨迹起始于系统的n个开环极点。 2.终点：kg= ，等式右边=0当 成立，m条根轨迹终止于m 个开环零点处；由于nm时，只有s 处另外nm条根轨迹终止于处（，相角可为任意方向）。结论：根轨迹以n个开环极点为起点；以m个开环零点为终点，另外nm条根 轨迹终止于无穷远处。 五、实轴上的根轨迹 、 两向量对称于实 轴，引起的相角大小相等、方向 相反；、 两向量也对称于 实轴，引起的相角大小相等、方 向相反 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭 零、极点不考虑。 位于s1左边的实数零、极点： 、 向量引起的相角为0 判断 s1是否落在根轨迹上，位于s1左边
8、的零、极点不考虑。 位于s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供180相角，其代数和为奇 数，则满足相角条件。结论：s1右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，则s1位于根轨迹上 。六、根轨迹的渐近线若nm，当kg从0+时，有(nm)条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角 ，截距为 的一组渐近线趋向无穷远处。与实轴交点的坐标：仅当s足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐逼近， kg，根轨迹才与渐近 线重合。例：已知控制系统的开环传递函数如下，确定s平面上根轨迹的渐近线方向。解：开环极点：开环零点：3条趋于无穷远处截距夹角七、根轨迹的分离点和会合点1.分析：1.如图， ， 为实轴上的根轨迹两条根轨迹分别由
9、 和 出发，随kg的增大，会合于a点继而又分开 ，离开实轴，进入复平面，再回到实轴，会合于b点再离开，一条终止于 ，另 一趋于负无穷远处。若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为根轨迹的分离点或 会合点。此点对应于二重根（实根和共轭复数根）。一般多出现在实轴上。 2.规律： 若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间必有分离点； 若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存在根轨迹，之间必有会合点； 若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可能既有分离 点也有会合点，也可能都没有。4. 分离点的求取 重根法特征方程： 具有重根， 则特征方程：消kg得 s 分离点3.求分离角（
10、会合角）： 在分离点（会合点）上，根轨迹切 线与正实轴的夹角l为相分离的根轨迹分支数 极值法 牛顿余数定理的使用（二阶以上）就实轴而言 可以用求极值的方法令得举例：已知控制系统的开环传递函数如下，试求根轨迹在实轴上的分离点。解：（用重根法 ）判断：开环极点有三个 在实轴上根轨迹 ，则 s1满足，为分离点。八、根轨迹的出射角和入射角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角 入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角说明：靠近 的地方选一个s1点，相距 当 0，则 出射角 即：通式：由其它各开环零点指向 的向量的幅角：由其它各开环极点指向 的向量的幅角入射角：九、根轨迹与
11、虚轴的交点 随着kg，根轨迹可能由s左半平面右半平面，系统会从稳定不稳定，根轨迹与 虚轴的交点，即闭环特征方程出现纯虚根，出现临界稳定。 求解方法（两种方法）： 令 代入闭环特征方程 ，再令求出交点坐标和kg。 劳斯判据：第一列有0元素（纯虚根），代入辅助方程，此处的增益临界根轨迹增 益kgp。例：已知系统的开环传递函数，求根轨迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益kgp。解：令 代入有得 （舍去） 交点坐标： 解： 劳斯判据当 时， s1行等于0，有一对纯虚根，辅助方程1 2 3 0s3 s2s1s0 十、闭环极点的和与积 设系统的开环传递函数为由根与系数的关系 ：系统的闭环特征方程为 是一个n阶方
12、程，设闭环极点（特征方程根）分别为 ，则由根与系数的关系 ：当 时， 表明，随着kg，若闭环一些特征根增加时，另一些特征根必定减小，以保持其代数和 为常数。即一些分支向右移动时，另一些分支必向左移动，保持左右平衡。 可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。 对于某一 kg，若已知（n-1）个闭环极点，可求最后一个闭环极点。例：已知系统的开环传递函数，根轨迹与虚轴的交点为 ，试求其相应的第 三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益kgp解： 闭环特征方程： 开环极点之和：闭环极点之和： 又 小结： 按10条规则绘制控制系统从kg=0+时根轨迹的草图直 观分析kg变化对性能的影响； 进一步根据幅
13、角条件，采用试探法准确确定若干点的位置（ 特别是虚轴附近或原点附近） 精确根轨迹。43 控制系统根轨迹的绘制w一、单回路系统的根轨迹解： 根轨迹对称于实轴 ，根轨迹有3条，分别始于开环极点0，1 ，2，止于无穷远处 按根轨迹上的点其实轴右侧的开环零、极点个数之和为奇数，可知根轨迹区域为 ，渐近线共有3条渐近线与实轴正方向夹角为：截距：1.例 设系统的开环传递函数为 ，试绘制系统的根轨迹。 实轴上开环极点1和0之间有根轨迹， 之间有分离点，用重根法或极值法求 解分离点 处分离角： （l：分离支数） 分离点处时第3个闭环特征根 可估计根轨迹的走势 a.一条分支以极点2为起点向左移动至无穷远处，另一
14、条分支以极点0为起点开始 向左移动，余下的分支以极点1为起点向右移动，为保持平衡，向右分支必须走 得更快，所以分离点在中央偏右0.42处； b.以2为起点的分支不断向左，所以其它两条分支经分离点后必向右推进，至无穷 远； c. 时，2.例：设系统开环传递函数 ， 试绘制系统大致的根轨迹 。解（1）无开环零点，开环极点在实轴上根轨迹-3，0。（2） ，有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点（3）实轴上的分离点（4）起始角（出射角）（5）与虚轴的交点系统特征方程为令 代入有3. 圆弧根轨迹当系统仅具有两个开环极点和一个开环零点时，这时根轨迹可能是直线或圆弧，但 只要根轨迹一旦离开实轴，必然是沿圆弧移动。 圆心：开环零点 半径：例：设系统开环传递函数 ， 求根轨迹 。解：两个开环极点：一个开环零点：根轨迹在实轴上的区间：圆心：半径：当闭环特征根变至实部为4时，其对应的4. 典型根轨迹与开环零极点间关系（p.140 表4-2） 根轨迹均为直线或弧线（不可能有折线）； 从分离点离开实轴再回到实轴（会合点），一般为圆弧；
