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1、用数学方法理论知识证明不等式数学与应用数学专业答辩人：胡宁宁 指导教师：陈祥平摘要数学分析中不等式的应用占有很重要的地 位,其证明与很多知识相联系.这篇论文主 要研究如何巧妙地利用数学分析知识,探讨 多种不等式的几种常见证明方法，并对其 进行了归纳和总结。主要给出了应用微分 中值定理，函数的单调性，函数的凸凹性 ， Taylor公式，Jensen不等式，最大值与 最小值证明不等式的方法，对应用中常出 现的问题进行了详细阐述，每一种方法都 给出了相应的例子. 引言不等式的证明贯穿于整个数学分析的课程之中，正确掌 握不等式证明的方法是研究数学及相关科学的基础.不等 式的证明涉及到很多方面的知识，在
2、证明时应该充分考 虑、分析已知不等式的类型，各种证明不等式的方法应 灵活掌握.证明不等式的方法有很多种，由必要总结不等 式的证明方法.本文主要是讨论如何利用微分中值定理， 函数单调性，函数凸凹性，Taylor 公式，Jensen不等式 ，函数最大值最小值证明不等式，以及对证明不等式的 特殊技巧进行归纳，并列出了证明不等式的实例，也对 应用范围作出了简单的分析.这些证明方法具体见文献1 -5.以下是我总结的用数学分析理论知识证明不等式的 六种方法，在实际学习中有很多题目是多种方法综合运 用求证的.所以在证明不等式时，首先观察不等式的形式 ，选择适当的方法，只有方法得当，才能准确、快速、 灵活的求
3、证不等式.一、用微分中值定理证明 利用微分中值定理证明不等式是一种很重 要的方法,常常要构造辅助函数,往往对一 些双边不等式用的较多，下面给出利用微 分中值定理证明不等式的方法和步骤： 1.构造辅助函数 ； 2.构照拉格朗日中值定理需要的区间 ； 3.利用 的关系,对 进行适当的放 缩，加强不等式.例题1证明不等式0或 0 . 注意：应用函数单调性来证明的，对于单边不等式可以直接作差，对得到的函数进行求 导，判断其与零的大小，进而得证. 对双边 不等式，可以分解成单边不等式，先求一 边，必要时对于所给不等式进行等价转 化，进而得证.三、用函数凸凹性证明 定义1 设在 上连续， 是正数，对介于之
4、间的任意的 和 y ， 如果 则称函数 是 上的凸函数. 对某些不等式来说利用函数凸凹性证明也是非常方便的， 其步骤如下： 对函数求二阶导数,如果0, 则为凸函数 否则为凹函数. 针对具体题目进行放缩. 例题3 设在上连续， 在(a ,b)内可导， 且单调 增加， 证明： 对0,1 有 . 四、 用Taylor公式证明 利用Taylor公式证明不等式，常适用于所给题设 中函数具有二阶和二阶 以上的高阶导数，且 最高阶导数的大小或上下界是已知的命题 . 证明思路： 1.写出比最高阶导数低一阶的Taylor公式； 2.根据所给的最高阶导数的大小或上下界对展开 式进行缩放；3.在所需点Taylor展
5、开对Taylor余项作适当处理.例题4 用Taylor公式证明：若为D上的下凸函数，则对. 注意： 在应用Taylor公式证明不等式时，一般同 时要用到函数单调性，有时需要构造函数 ，然后对于构造的函数进行适当的Taylor 展开，进行放缩，进而求证不等式.五、用Jensen不等式证明 Jensen不等式： 若 为D上的下凸函数， 则对于 例题5 证明不等式， 其中. .注意：应用Jensen不等式证明不等式，关键在于构造函数，然后对函数求二阶导数，判断是凸函数还是凹函数。进而应用Jensen不等式. 用最大值与最小值证明，对此，我们可以 对函数求导 ，针对其单调性讨论，有必要 时求出极大值和
6、极小值，进行放缩. 六、用最大值与最小值证明例题6 证明：若p1,则对于0, 1中的任意， 有 . 注意： 对于所证不等式中有常数项的题目，可以 考虑应用函数最大值与最小值来证明，作 差、求导、判断最值和极值.有时需要对于 所给不等式进行等价转化，然后进行证明.结束语： 不等式的应用在数学的学习中是十分重要 的内容，不同类型的不等式证明方法也是 不同的，本文只是结合数学分析的知识进 行了归纳整理，说明了应用中应注意的问 题，并每种方法配有相应例子，期望对数 学分析的学习及中学数学教学有一定的指 导作用.参考文献: 1 华东师范大学数学系.数学分析M .北京：高 等教育出版社，2001. 2 刘
7、玉琏等.数学分析讲义M.高等教育出版社 .2003年6月出版. 上册P376. 3 王素芳、陶荣.泰勒公式在计算证明中的应用 M.洛阳工业高等专科学校学报J .2002（6）. 4 同济大学应用数学系.高等数学M .北京：高 等教育出版社，2002. 5 梁瑞兴.著名不等式M .北京：中国物质出版 社，1994.致谢 当我写完这篇毕业论文的时候，需要我感谢的人特别多. 首先衷心感谢我的指导教师陈祥平老师，从论文题目的 选取、资料的收集、结构的安排、到最后的定稿打印都 得到了陈老师的精心指导.陈老师的严谨治学、孜孜不倦 、持之以恒的师表风范是我终身学习的楷模，在此向陈 老师表示诚挚的感谢和崇高的敬意！ 特别感谢朱先军、刘丽等老师的细心授课，从他们的讲 课过程中我不仅学到了课本知识，更从刘丽老师那学到 了做人的道理，再此向刘丽老师表示衷心的感谢！ 感谢数学系各领导老师的精心培养和教育！ 还感谢我的舍友，这篇论文的每个细节和数据，都离不 开你们的信心指导。 最后再次向所有给予我帮助的老师、同学表示最诚挚的 谢意！
