第六章 集合6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理并运算：A∪B定义：设A和B是两个集合,则 ① 存在一个集合，它的元素是所有的或者 属于集合A，或者属于集合B的元素组成 ，称这个集合为集合A与集合B的并集 记为A∪B ，即A∪B={x │x∊A或x∊B}A∪B交运算、差运算②存在一个集合，它的元素是所有的既属 于集合A，又属于集合B的元素组成，称 这个集合为集合A与集合B的交集记为 A∩B ，即A∩B={x │x∊A且x∊B}A∩B交运算、差运算③存在一个集合，它的元素是所有的属于 集合A，但不属于集合B的元素组成，称 这个集合为集合A与集合B的差记为A– B ，即A–B={x │x∊A且x∉B}A–B集合运算性质 定理：设A、B、C是三个任意集合， 则： ① 幂等律 A∪A=A A∩A=A ② 交换律 A∪B= B∪A A∩B= B∩A ③结合律A∪（B∪C）=（A∪B）∪CA∩（B∩C）=（A∩B）∩C ④分配律A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）证明： A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）对于任意的x，若x∊ A∪(B∩C)，则 x∊ A，或x∊B∩C 。
当x∊ A，则x∊ A∪B 且x∊ A∪C，所以 x∊ (A∪B)∩(A∪C) ； 当x∊B∩C，则x∊B 且x∊C，就有x∊ A∪B, 且x∊ A∪C， 所以 x∊ (A∪B)∩(A∪C) 故 A∪(B∩C)⊆(A∪B)∩(A∪C) 反过来，若x∊ (A∪B)∩(A∪C)，则 x∊ A∪B, 且x∊ A∪C 由x∊ A∪B 得x∊A 或x∊B； （1） 由x∊ A∪C 得x∊A 或x∊C （2） 于是，当x∊A，有x∊ A∪(B∩C)； 当x∉A，由(1)和(2)， x∊B 且x∊C，有x∊B∩C ，所以x∊ A∪(B∩C) 故 (A∪B)∩(A∪C) ⊆A∪(B∩C) 综上知， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）对称差 定义2：A,B是两个集合，存在一个集合， 它的元素是所有的或者属于A不属于B， 或者属于B不属于A，称它为集合A和集合 B的对称差，记为A⊕B，即：A⊕B={x│x∊A且x∉B,或x∊B且 x∉A} A⊕B由定义义，不难难知：A⊕B = (A–B)∪(B–A) A⊕A = Ø A⊕Ø = A命题 (p65) A⊕B = (A∪B)–(A∩B) 证明：对于任何一个x,若x∊A⊕B，则x∊A–B或x∊B–A。
若x∊A–B，则有x∊A且x∉B ，从而有x∊ A∪B且x∉ A∩B ，所以x∊ (A∪B)–(A∩B) ； 若x∊B–A，则有x∊B且x∉A ，从而有x∊ A∪B且x∉ A∩B ，所以x∊ (A∪B)–(A∩B) ；因 此, A⊕B ⊆ (A∪B)–(A∩B) 对于任何一个x，若x∊ (A∪B)–(A∩B) ， 则有x∊ A∪B且x∉ A∩B 若x∊A,又x∉ A∩B, 所以x∉B, 从而有x∊A–B,故x∊A⊕B； 若x∊B,又x∉ A∩B, 所以x∉A, 从而有x∊B–A,故x∊ A⊕B； 因此， (A∪B)–(A∩B) ⊆ A⊕B综上所得， A⊕B = (A∪B)–(A∩B) 例：（A ⊕ B）⊕ C = A ⊕（B ⊕ C）设 x∊ （A ⊕ B）⊕ C, 于是有 （1） x∊ A ⊕ B，且x∉C，即有 x∊A且x∉B 且x∉C,或x∊B且x∉A 且x∉C； 或（2）x∊C 且x∉ A ⊕ B , 即有 x∊C且x ∊ A 且x ∊ B，或x∊C且x∉A 且x∉B设 x∊ A ⊕（B ⊕ C）, 于是有 （1）x∊ A ，且x∉ B⊕ C，即有 x∊ A且x∉B 且x∉C，或x∊A且x ∊ B 且x ∊C； 或（2）x∊ B⊕ C 且x∉ A , 即有 x∊B且x ∉ C 且x∉A，或x∊C且x∉B 且x∉A。
由上不难难看出： （A ⊕ B）⊕ C = A ⊕（B ⊕ C）ABC例1 (p66) (A-B)∪(A-C)=A在何条件下成立？ 解：根据分析当且仅当 A∩(B∩C)=Ø时,等式成立首先，假若(A-B)∪(A-C)=A, 要证明A∩(B∩C)=Ø用反证法若A∩B∩C≠Ø, 则∃x∊A∩B∩C, 所以x∊A， x∊B ， x∊C 由x∊A，x∊B, 有 x ∉A-B, 又由x∊A，x∊C, 有x ∉A-C, 所以有 x ∉ (A-B)∪(A-C)=A矛盾说明A∩B∩C=Ø分析： A的元素a既是B的元素、也是C的元素，则等式不成立再证，若A∩(B∩C)=Ø, 则(A-B)∪(A-C)=A成立对于任意的x∊(A-B)∪(A-C), 则有x∊A-B或x∊A-C,即有x∊ A且x∉B,或x∊A且x∉C,于是有x∊A,所以 (A-B)∪(A-C)⊆A 对于任意的x∊A, 若x∉B，则有x∊A-B, 进而x∊(A-B)∪(A-C)； 若x∊B, 则x∊A∩B，由于A∩(B∩C)=Ø, 则x∉C, 即有x∊A-C,进而x∊(A-B)∪(A-C)；所以有A⊆(A-B)∪(A-C) 。
综合得到 (A-B)∪(A-C)=A成立例2 (p66) 已知A⊕B=A⊕C，证明B=C 证明：因为A⊕B=A⊕C 所以A⊕(A⊕B)= A⊕(A⊕C ) 从而有 （A⊕A）⊕B =（ A⊕A）⊕C 即 Ø⊕B=Ø⊕C故 B=C有限并、有限交设Pi (1≤i≤k)是k个任意集合,u 把P1∪P2∪┅∪Pk简记为u 把P1∩P2∩┅∩Pk简记为推论 (p67)设A, Pi (1≤i≤k)是k+1个集合, 则（分配率对有限并、有限交都成立可数并、可数交设Pi (i∊N)是任意集合, 性质：设A,Pi (i∊N)是任意集合, 广义并、广义交 设H是一个集合，我们称它为下标集，对于H中的每一个 元素g， Ag表示一个集合广义并、广义交 设D是一个集合簇，也可以认为是一个以集合为元 素的集合我们要求D不是空集合我们令：在 D={Ag│g∊H}的情形下 , 有例3 (p67)设 Sa={x│0≤x0} 记则幂集 定义3： A是一个集合，存在一个集合，它 是由A的所有子集为元素构成的集合，称它为集合A的幂集合，记为ρ(A) ，也记为2A 例 设A={0,1} ，则ρ(A)={Ø,{0},{1},{0,1}}设B={a,b,c} ，则ρ(B)={Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b,c}}第六章 集合6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理。