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1、八年级数学（下册）第二章 分解因式1 分解因式多项式分解因式的概念请同学观察下面两个等式：a3b3=(ab)(a2-abb2)，32-323()(-). 可以看出，这两个等式的左边都是多项式，右 边都是整式乘积的形式，并且右边的每一个因 式都能整除左边的式项式. 我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫 做多项式的分解因式. 多项式分解因式的概念 分解因式与整式乘法的关系：分解因式结合：a2-b2 （a+b）（a-b ）整式乘法把一个多项式化成几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式分解因式，也叫做把 这个多项式因式分解. 分解因式与整式乘法的关系 结论：分解因式与整式乘法正好相反. 说明：从左到
2、右是分解因式其特点是： 由和差形式（多项式）转化成整式的积 的形式；从右到左是整式乘法其特点是 ：由整式积的形式转化成和差形式（多 项式）. 问题：你能利用分解因式与整式乘法正好相 反这一关系，举出几个分解因式的例子吗？ 如： 由(x+1)(x-1)=x2-1得x2-1=(x+1)(x-1) 由(x+2)(x-1)=x2+x-2得x2+x-2=(x+2)(x-1)等.分解因式是整式中的一种恒等变形分解因式与整式乘法是两种相反的恒等变形， 也是思维方向相反的两种思维方式，因此，分 解因式的思维过程实际也是整式乘法的逆向思 维的过程。 问：下列各题中，从左式到右式的变形，哪 些是分解因式?哪些不是
3、分解因式?为什么? (1)222()2； (2)232(1)(2)； (3)(2)(1)22； (4)(2)22； (5)22()()； (6)24(3)(2)2. 答：(1)，(2)，(5)题中，从左式到右式的变形 是分解因式，因为各题中的左式都是多项式， 而右式都是整式乘积形式，均符合分解因式的 定义；而(3)，(4)，(6)题中，从左式到右式的 变形都不是分解因式，各题中的右式都不是整 式乘积的形式，因此不符合分解因式的定义. 多项式的分解因式，必须是把一个多项式化 成几个整式乘积的形式. 单项式与多项式相乘，得 ()； 多项式与多项式相乘，得 ()(2+(n)n. 乘法公式有： 平方差
4、公式：()()22. 完全平方公式:()2222， ()2222. 立方和与立方差公式: ()(22)33， ()(22)33. 观察乘法运算及乘法公式中，等号的 左边和右边各是什么式子?答：各式的等号左边都是整式乘积形 式，而各式的等号右边都是多项式. 如果我们把上面的乘法运算及乘法公 式中的等号左边的式子与等号右边的 式子互换，就得到:()，2()()() ，2-2()(-)， 222()2，222()2，33()(a22)，33()(a22). 这些式子中，从等式左边到等式右边的变形就是多 项式的分解因式. 由此可得出：多项式的分解因式与整式乘法是方向 相反的恒等式.整式的乘法运算是把几
5、个整式的积变 为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展 ；而多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展. 课堂练习 1.选择题. (1)下列等式中，从左到右的变形为分解因式的是 ( ). .12234 .(2)(2)24 .42814(2)-1 .121212(). (2)下列等式中从左到右的变形分解因式的是( ). .(5)(1)245 .221()()-1 .210252(5)2 222() DC(3)下列等式中从左到右的变形分解因式的是( ). .()22 .(3)(3)29 .() .2() 2.判断下列各题从左到右的变形，哪些是分解因 式
6、?哪些不是?为什么? (1)()2222； (2)216(4)(4)； (3)2-45(2)21； (4)221(1)2； (5)2251(5)(5)1； (6)256(6)(1).D否 是 否 是 否 是小结 1.多项式的分解因式的概念是，把一个多项式化为 几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因 式. 2.多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的恒等 变形. 1.判断正误. (1)把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式分 解因式； ( ) (2)把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式分解因 式； ( ) (3)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这 个多项式分解因式. ( )作业
7、 2.下列由左到右的变形，哪些是分解因式?哪 些不是?为什么? (1)22+y21(1)(1)； (2)223()() 3； (3)22n2-22()22()； (4)9(21)9(1)(1)； (5)23(23)； (6)(2)(3)+521； (7)922(3+)(3). 利用分解因式与整式乘法的关系，可以从整 式乘法探求分解因式的结果。什么是完全平方式 ： 两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的 积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方. 222()2； 222()2 . 式子a2+2ab+b2及a22ab+b2叫做完全平方式， 上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个 公式，可
8、以把形式是完全平方式的多项式分解 因式. 注意 完全平方式是指代数式: a2+2ab+b2.a22ab+b2.具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组 成，其中的两部分是两个式子(或数 )的平方，并且这两部分的符号都是 正号，第三部分是上面两个式子(或 数)的乘积的二倍，符号可正可负， 像这样的式子就是完全平方式.多项式x24y2+4xy 是否符合完全平方式的结构特点?这样的多项 式能否进行因式分解? 分析：这个多项式的两个平方项的符号均为负， 因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完 全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提 出一个负号，那么括号内的多项式就符合完
9、全平 方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分 解因式. 解：x2+4y2+4xy = (x24xy+4y2) =x222xy+(2y) 2 =(x2y) 2. 注意： 1.在一个多项式中，两个平方项的符 号必须相同，才有可能成为完全平方 式. 2.在对类似例1的多项式分解因式时， 一般都是先把完全平方项的符号变为 正的，也就是先把负号提到括号外面 ，然后再把括号内的多项式运用完全 平方公式分解因式.例2 把(x+y) 26(x+y)+9分解因式. 分析：多项式中的两个平方项分别是(x+y) 2和32 ，另一项6(x+y)=2(x+y)3，符合完全平方式的形 式，这里“x+y”相当于完全平方
10、式中的a，“3”相当 于相当于公式中的b，设a=x+y，我们可以把原式 变为 (x+y) 26(x+y)+9=a26a+9， 因而能运用完全平方公式，得到(a3) 2. 在解题过程中，可以把代换这一步骤省略. 解 ：(x+y) 26(x+y)+9 =(x+y) 22 (x+y)3+32 =(x+y3) 2. 例3. 把m2+10m(a+b)+25(a+b) 2分解因式. 问：观察和分析这个多项式，是否符合完全 平方式形式?为什么? 答：可以把m2+10m(a+b)+25（a+b）2写成m2+2 m 5(a+b)+5(a+b) 2.这里m相当于完全平方式里 的a，5(a+b)相当于完全平方式里的
11、b.原式是完全 平方式，可以运用完全平方公式因式分解. 解：m2+10m(a+b)+25(a+b) 2 = m2+2 m 5(a+b)+5(a+b) 2 = m+5(a+b) 2 = (m+5a+5b) 2. 注意：通过以上各例题可以看到，在给出的多项 式中，两个平方项可以是单项式 (或数)，也可以 是多项式. 例4 把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)81m472m2n2+16n4. 对于(1)，请同学观察和分析，这个多项式的结构有什么 特点?怎样分解因式? 答：这个多项式的各项都有公因式3a，可以先提出，即 3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)
12、. 括号内的多项式是一个完全平方式，可以用完全平方公 式因式分解. 对于(2)，结合这个多项式的结构特点，怎样分解因式? 答：所给的多项式是三项式，其中第一、三项可以变形 为平方项，即81m4=(9m2) 2，16n4=(4n2) 2，中间项 72m2n2=29m24n2，所以这个多项式符合完全平方式形 式，因此可以运用完全平方公式因式分解. 解 (1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y) 2. 注意：如果多项式 的各项有公因式， 应该先提出这个公 因式，再进一步分 解因式. (2)81m472m2n2+16n4 =(9m2) 229m24n2+(4n2) 2 =(9m24n2) 2. 问：做到这一步还能不能继续再分解? 答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平 方差公式分解因式. 原式=(9m24n2) 2 =(3m) 2(2n) 2 2 =(3m+2n)(3m2n) 2 =(3m+2n) 2 (3m2n) 2. 三、课堂练习 把下列各式分解因式： (1)(x+y) 210(x+y)+25； (2)2xyx2y2； (3)ax2+2a2x+a3； (4)a2c2c4+2ac3； (5
