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1、研究的基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续在某一变化过程中始终保持相对静在某一变化过程中始终保持相对静 止状态的量称为常量；时时处于变化着止状态的量称为常量；时时处于变化着 的量成为变量。前者记为的量成为变量。前者记为a, b, ca, b, c等，等， 后者记为后者记为x, y, tx, y, t等。等。1.11.1函数函数1.1.11.1.1函数的概念函数的概念一、常量与变量一、常量与变量设在某个变化过程中存在两个变量设在某个变化过程中存在两个变量x, y,x, y,若若 对于某一非空数集中的每一个对于某一非空数集中的每一个x
2、x值值, ,按照某一确定按照某一确定 的关系的关系f f都有唯一一个实数都有唯一一个实数y y与之对应与之对应, ,则称变量则称变量y y 是变量是变量x x的函数的函数, ,记为记为 二、函数的概念二、函数的概念 定义定义11定义域f ( D ) 称为值域 函数图形:自变量因变量二是在定义域范围内二是在定义域范围内, ,变量变量x x与与 y y有确定有确定 的对应关系的对应关系, ,这两个要素决定值域这两个要素决定值域R R。理解：理解：函数的定义有两个要素：函数的定义有两个要素：一是自变量一是自变量x x必须有明确的定义域必须有明确的定义域D D；如果两个函数相等如果两个函数相等, ,则
3、这两个要素必须完则这两个要素必须完 全相同。全相同。思考：两个思考：两个函数函数 是否相等？是否相等？例例1 1 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：解：解：即即因此因此f(x)f(x)的定义域为的定义域为: : 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意 义的一切实数值.例例3 3 已知函数已知函数 求求 。解： 令令x+1=tx+1=t，则，则x=t-1x=t-1，将其代入原式，将其代入原式，即即得得例例2 2 已知函数已知函数 , ,求求 解 ： 邻域邻域: :所谓邻域是指如果所谓邻域是指如果x x0 0是实数轴上一点是实数轴上一点 ，为正实数，则开区间为正实数，则开区间x x
4、0 0-f(xf(x2 2)，则称函数在区间，则称函数在区间I I上是单调增加上是单调增加 （或单调减少）的。（或单调减少）的。单调增加函数对应的曲线随自变量单调增加函数对应的曲线随自变量 x x的逐渐增大而上升；单调减少函数对的逐渐增大而上升；单调减少函数对 应的曲线随自变量应的曲线随自变量x x逐渐增加而下降。逐渐增加而下降。单调函数图像的特点是：单调函数图像的特点是：设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为D,D,如果对如果对D D内内 任意一点任意一点x(-xD),x(-xD),都满足都满足f(x)=f(-x),f(x)=f(-x),则则 称函数称函数f(x)f(x)在在D D
5、内是偶函数内是偶函数; ;若函数若函数f(x)f(x)对对 定义域定义域D D内任意一点内任意一点x x，都满足，都满足f(x)=-f(x)=- f(x),f(x),则称函数在则称函数在D D内是奇函数。内是奇函数。二、奇偶性二、奇偶性函数y=x2是在其定义域(-,+)上是 偶函数;函数y=sinx是在其定义域(- ,+)是奇函数;函数y=sinx+cosx在其定 义域(-,+)上非奇非偶.偶函数yxox-x奇函数yxox-x偶函数的图像是偶函数的图像是 关于关于y y轴对称轴对称奇函数的图像是奇函数的图像是 关于原点对称关于原点对称设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为D,D,如果
6、存在一如果存在一 个正数个正数M,M,使得对于使得对于D D中某一个子区间中某一个子区间I I内内 任意一点任意一点x,x,总有总有|f(x)|M (|f(x)|M (即即-Mf(x)M),-Mf(x)M),则称函数在则称函数在I I上是有界的上是有界的 ，否则是无界的。，否则是无界的。三、有界性三、有界性oyxM-My=f(x)I有界(2)有界与否是和I有关的.(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:如如sinx sinx 、cosxcosx对区间对区间(-,+)上任 意一点x,存在M=1,使得所以它们在区间所以它们在区间(-,+)上都是有界函数 。lnx lnx在区间在区间(0,+
7、)上为无界函数,因为找不到那样一个正数找不到那样一个正数M,M,使使 成立。成立。如如f(x)=1/xf(x)=1/x在开区间在开区间(0，1)上是无界的,但在闭区间1,2上却是有界函数,因为在此区间上能找到区间上能找到M1,M1,使当使当x1,2x1,2时时, ,成立成立 。设函数的定义域为设函数的定义域为D,D,如果存在一个非零如果存在一个非零 常数常数T,T,使得对于任意一点使得对于任意一点xD,f(x+T)=f(x) xD,f(x+T)=f(x) 恒成立恒成立, ,则称则称f(x)f(x)在在D D上为周期函数上为周期函数,T,T称为的称为的 周期。通常所说的周期是指最小正周期。周期。
8、通常所说的周期是指最小正周期。四、周期性四、周期性周期函数的图像特点是在这函数的定周期函数的图像特点是在这函数的定义域内义域内, ,每个长度为周期每个长度为周期T T的区间上的区间上, ,函数函数 所对应的曲线有相同的形状。所对应的曲线有相同的形状。xyT/2-T/23T/2-3T/2o o1.1.3 1.1.3 初等函数初等函数 一、基本初等函数一、基本初等函数基本初等函数通常是指幂函数、指数函数、基本初等函数通常是指幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数和反三角函数。对数函数、三角函数和反三角函数。(1)幂函数是常数,取 值不同函数的 定义域不同y=xy=xy=1/xy=1/xy=xy=x
9、2 2(2) 指数函数01a11 12 23 34 41 1-1-1(3) 对数函数a1a10 0当 x = 0 当 x 0,x0,所以所以例例12 12 求求解: 例例13 13 求求解:原式=例14 求练习：求解:令则因此原式解：令令则2.2.当当n n逐渐增大时，数列的变化趋势见表逐渐增大时，数列的变化趋势见表1-41-4。从表从表1-41-4看出，看出，当当n n逐渐增大时，逐渐增大时，也逐渐增大，当也逐渐增大，当 时，时，即即, ,当当n n为任何实数时，为任何实数时，结论仍成立结论仍成立, ,即即则令即例例15 15 求求解: 例16 求解解: :2. 2. 两个重要极限两个重要极
10、限或注: 代表相同的表达式内容小结内容小结1. 数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则思考与练习思考与练习填空题( 14 )1.2.5 1.2.5 无穷小量的比较无穷小量的比较都是无穷小,引例:但 不存在,不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同 .而 【定义定义1010】中,设在自变量同一变化过程为无穷小为无穷小, ,且且若则称是比高阶的无穷小, 记作若则称(x)是比(x)低阶的无穷小;若,则称(x)与(x)的同阶无穷小;特别当c=1时,称 (x)与(x)是等价无穷小,记作例如，即即当当x0x0时时,x,x2 2是比是比3x3x的高阶无穷小的高阶无穷小. .当当x0x0时时,
11、sinx,sinx与与3x3x是同阶无穷小是同阶无穷小. .当当x0x0时时,sinx,sinx是比是比x x2的较低阶无穷小的较低阶无穷小. .当当x0x0时时,sinx,sinx与与x x是等价无穷小是等价无穷小. .即即例如例如, ,当当时 故时,是关于x的高阶无穷小,且又如 ,当当x3x3时时,x,x2 2-9-9与与x-3x-3是是同阶无穷小同阶无穷小. .内容小结内容小结1. 无穷小的比较设, 对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小常用等价无穷小:1.3 1.3 函数的连续性函数的连续性1.3
12、.1 1.3.1 函数的连续性函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定 义,当自变量由点x0变到另一点x时,称x- x0 值为自变量的增量,记为x=x-x0,相应地 f(x0+x)-f(x0)值为函数的增量,记为 y=f(x)-f(x0). 【增量定义】因为因为,故有【定义11】设函数y=f(x)在x0点的某一邻域内有定义,在x0点给自变量以增量x=x-x0 ,相应地函数 的增量y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0),如果,则称函数 y=f(x)在点x0连续,并称点x0为函数f(x)的连续点.【定义12】设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,若当 时,函数f
13、(x)的极限存在且等 于f(x0),即 则称函数 y=f(x) 在点x0连续.即函数在点(1) 在点即(2) 极限(3)连续必须具备下列条件:存在 ;有定义,存在 ;。由函数在一点由函数在一点x x0 0处的连续定义及处的连续定义及 , ,有有例17 验证函数y=sinx在区间 上是连续在区间 上任取一点x,当x有增量 ，证证 ：对应的函数增量为 ：当 时，当 时，是无穷小量是无穷小量, ,且且 为有界函数为有界函数, ,根据定理可知根据定理可知仍为无穷小量仍为无穷小量, ,从而有从而有,所以函数y=sinx在区间 上连续 同样可证: 函数在内连续.【定义13】设函数y=f(x)在点x0的左邻
14、域内(x0+ ,x0内有定义,若 ,则称函数y=f(x)在点x0处左连续。同理可定义函数同理可定义函数f(x)f(x)在在x x0点右连续，即点右连续，即函数函数f(x)f(x)在在x x点连续的充分必要条件是它点连续的充分必要条件是它在在x x点既左连续又右连续，即点既左连续又右连续，即如例如例7 7中中, ,函数函数 在在x=0x=0点有定义点有定义, , 但但 所以所以 不存在。不存在。左连续。如图所示左连续。如图所示 。因此因此f(x)f(x)在在0 0点不连续点不连续, ,但但若f(x)在区间（a,b）上每一点都连续,则称 f(x)在(a,b)上连续;如果f(x)在x=a点右连续,而在x=b点左连续,则称f(x)在区间a,b上连续例如,在上连续,即:(有理整函数)又如,有理分式函数 义域内连续 。在其定只要都有1.3.2 1.3.2 间断点间断点如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处不连续处不连续, ,则称则称x x0 0点为点为种情况之一时,点x0为函数f(x)的间断点:(1)函数f(x) 在无定义 ; 在在(2)函数f(x)不存在 ;(3)函数 f(x)存在,但虽有定义,但虽有定义,且f(x)f(x)的间断点或不连续点。的间断点或不连续点。根据定义12可知,当函数f(x)在点x0有下列三例例18 18 函数函数 在在x=1x=
