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1、计算机在稀土工程中的应用计算机在冶金中的应用计算机在稀土工程中的应用计算机在稀土工程中的应用计算机在稀土工程中的应用第三章 数值计算方法计算机在稀土工程中的应用第3章 数值计算方法计算方法（也称数值分析、数值求解）：研究求解数学模型的算法及相 关理论，它是随着计算机技术的发展而发展起来的应用数学分支。在工程实际和科学研究中，绝大多数数学模型很难求得其解析解，或根 本就没有解析解，只能用计算机求出其数值解。从应用角度来看，这也 就足够了。在数值求解中，常使用如下技术:1.迭代求解技术2.连续问题离散化技术3.离散数据连续化技术评价算法优劣的标准：1.速度: 速度涉及计算量、算法收敛速度等2.精度
2、: 涉及计算误差计算机在稀土工程中的应用3-1 误差与有效 数字 数值分析，常常给人一种不严格、不准确的感觉。实 际上，误差是不可避免的，近似是正常的，根本不存 在绝对的严格和准确。问题是我们如何分析误差，控 制误差，保证计算结果误差在允许范围内。 计算机在稀土工程中的应用1.误差的来源在用数模处理实际问题时，误差来源主要有以下四个方面： 模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差(1) 模型误差：模型的建立往往要忽略一些次要因素，所以模型的解 与实际结果必然存在一定的误差，这类误差称为模型误差；(2) 观测误差：数学模型常常要用到一些参量数据，如温度、初始浓 度等，这些数据又往往是由观测获得，由
3、观测数据带来的误差称为 观测误差；(3) 截断误差：许多函数常用无限级数表示，而用计算机进行计算时 ，只能取前有限项，由此引起的误差称为截断误差；比如函数:(4) 舍入误差：由于计算机表示的实数有效位数有限，超出部分只能 按四舍五入法处理，这部分误差称为舍入误差。尽管一次舍入误差 极小，但当运算次数极多时，误差的积累也可能不可忽视。计算机在稀土工程中的应用2.绝对误差与相对误 差 设 x* 为某数据的准确值，x 为近似值(1) 绝对误差：若称为绝对误差限(2) 相对误差：当准确值未知时，可用近似值代替：称为相对误差限计算机在稀土工程中的应用3.有效 数字设近似值 x 的绝对误差限不大于某一位上
4、的半个单位，且 从该位到的第一非零数字位共有 n 位，则近似值 x 有n 位 有效数字。设数据近似值为：0.0276521035712652若绝对误差限为：0.00006，则有效数字有3位，即0.0276;若绝对误差限为：0.00004，则有效数字有4位，即0.02765;0.000060.0005=0.510-3 0.000040.00005=0.510-4 相对误差与有效数字位数，在最保守的情况下有如下关系：|相对误差|计算机在稀土工程中的应用3-2 数值计算的误差估 计数值计算中误差的产生与传播的情况非常复杂，对误差估计也比较困难，本节主要介绍采用 函数的泰勒 (Taylor) 级数展开
5、来估计误差，这是一种常用方法。计算机在稀土工程中的应用1.函数运算的误差传播估 计同理，对多元函数计算机在稀土工程中的应用2.算术运算的误差传播估计设两个近似数 x1 , x2 的误差限分别为 ，则 其两个数的四则运算误差，可用前述多元函数运算误 差估计公式计算： 计算机在稀土工程中的应用3-3 数值计算中的一些基本原 值 在数值计算中，为使误差在传播过程中不增大 ，应遵循一些基本原则:1.避免绝对值小的数作除数2.避免两个相近的数据相减3.防止大数“吃”小数4.尽量减少计算工作量5.选用数值稳定性好的算法计算机在稀土工程中的应用1. 避免绝对值小的数作除 数由除法的误差估计公式可知，除数的绝
6、对值越小，商 的绝对误差越大。所以要尽量避免采用绝对值很小的 数作除数。计算机在稀土工程中的应用2.避免两个相近的数据相减当两个相近的数据相减时， 差的有效数字位数大大减少 ，相对误差大大增加。相对误差为了避免两个相近的数据直接相减，常用恒等式将其变 形后计算，如：绝对误差计算机在稀土工程中的应用3.防止大数“吃”小 数一个绝对值很大的数与一个绝对值很小的数相加 时，很容易发生大数“吃”小数的现象。这是因为 计算机表示的实数有效数字位数有限所至。当绝对值很小的数个数极多时，对计算结果的影 不可忽视。在处理这类累加问题时，应按绝对值 从小到大的顺序进行累加。计算机在稀土工程中的应用4.尽量减少计
7、算工 作量在考虑算法时应注意尽量减小运算次数，计算机完成算 法运算所花费的时间与算术运算量有关，主要取决于乘 法、除法的运算次数，减少乘法、除法的运算次数，不 仅缩短了解题时间，而且误差的积累相应也要小一些。比如，多项式求和可用两种算法处理：(1)直接累加(2)秦九韶算法共进行n次乘法运算共进行n(n+1)/2次乘法运算计算机在稀土工程中的应用5.选用数值稳定性好的算法对同一问题，采用不同数值求解算法，对计算结果的误 差影响也不一样。舍入误差对计算结果影响不大的算法 称为数值稳定算法。实际上，分析一个算法在计算过程 中是否稳定，就是考察其误差是否增大。例：计算定积分经推导，有下式成立：计算机在
8、稀土工程中的应用算法1: 正向递推由此可见，该递推算法随n的增大，误差传播迅速增大， 是不稳定算法。由正向递推计算I20得计算机在稀土工程中的应用算法2: 逆向递推由 ：有 ： 按In估计式：取 ：按得逆向递 推计算机在稀土工程中的应用3-4 非线性方程求 解 非线性方程求解是科学与工程中的常见问题。通常 将非线性方程表示为如下形式：若函数为多项式时，即：则称为代数方程，否则称为超越方程。 对于高于4次的代数方程，不存在通用求解公式，而 对超越方程，一般很难有解析解。所以数值求解就 是一种非常实用和有效的方法。计算机在稀土工程中的应用1. 用计算机求解非线性方程的步骤(1) 若方程有多个解，可
9、先对方程按步长法进行根隔 离，找出隔根区(区间内只有一个解);(2) 利用迭代法求解。在该区间内确定一合适的初值 x0 ，按某种算法产生一个近似解序列，该序列 收敛于精确解x*计算机在稀土工程中的应用2. 二分法a1b1x1a0b0x0设函数 在区间 上连续，且 ， 采用二分法求解可按下列步骤进行： (1) 取近似解 x 为 区间中点值，计算f (x);(2) 若 , 则解在 区间,调整 (3) 若 , 则解在 区间,调整 反复循环执行，直至 或 计算机在稀土工程中的应用二分法收敛速度与误差因每次二分后，取有根区间的中间值为近似解：与准确解的误差为：计算机在稀土工程中的应用例：铜闪速熔炼反应塔
10、产物温度计 算热热收入项项热热支出 项项热热支出项计项计 算公式入炉物料显热显热铜锍显铜锍显 热热化学反应热应热炉渣显显 热热重油燃烧热烧热烟气显显 热热塔散热热经验经验 数据 通过求解方程：热收入+热支出=0，即可求得温度T。 现已知某生产时期热平衡方程如下，求温度T：计算机在稀土工程中的应用3. 简单迭代法将方程改写为由此得反复迭代，直至相邻两次 解的相对误差小于给定精 度即可。如前面的例子可改写为：(也称不动点迭代法)计算机在稀土工程中的应用简单迭代的误差与收敛两式相减，并由中值定理有：若：为小于1的正数则：即：所以，只要其导数的绝对值小于1，可保证收敛。计算机在稀土工程中的应用简单迭代
11、的加速当导数 g(x) 变化不大时，近似有：为加快收敛速度，可预先对近似解进行补尝：移项后，两边再减计算机在稀土工程中的应用4. 牛顿迭代法牛顿迭代法其实质是将非线性函数 近似为线性 函数来处理，即在近似解 xn 处，按泰勒级数展开， 忽略高阶项，得线性方程：由此得牛顿迭代公式：计算机在稀土工程中的应用3-5 线性方程组数值求解消元法迭代法雅可比法高斯-塞德尔法松弛法约当法高斯法追赶法计算机在稀土工程中的应用1. 雅可 比法（以三元线性方程组为例）直至相邻两次解误差小于给定精度计算机在稀土工程中的应用2. 塞德尔法由于塞德尔法总是使用最新的迭代解进行运算，所以其 收敛速度高于雅可比法。计算机在
12、稀土工程中的应用3. 松驰法无论是雅可比法，或是塞德尔法，都可使用松驰法进一 步加速：通常取 ，此时称为超松驰迭代，具体值取多大， 通常由试算确定。计算机在稀土工程中的应用4. 迭代法求解举例计算机在稀土工程中的应用5. 消元 法 常用的消元法主要有以下三类：约当法消元法高斯消元法（约当法的改进算法）追赶法（针对三对角型方程组）实用中使用最多的是高斯消元法。计算机在稀土工程中的应用6. 约当消 元法约当消元法的步骤：(1) 将第一个方程 x1 的系数化为1,并从其余方程中消除 x1 ;(2) 将第二个方程 x2 的系数化为1,并从其余方程中消除 x2 ;依此类推，直至每一个方程仅含一个变元为止。可以证明，对于 n元线性方程组 的求解，所用乘法次数为：计算机在稀土工程中的应用约当消 元法实 例计算机在稀土工程中的应用5. 高斯消元 法高斯 (Gauss)消元法是约当法的改进，目的是为了 减少计算量。 高斯法对子方程组不断消元降阶，直到最后一个方 程仅含一个变元，形成三角方程组，最后通过回代 求出其它变元的解。计算机在稀土工程中的应用 6. 高斯消元过程举 例计算机在稀土工程中的应用回代求解逐步消元7.求解步 骤
