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1、第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数第二节 向量的坐标表示一 空间直角坐标系二 向量在轴上的投影三 向量的坐标表示1 1第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数一 空间直角坐标系横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广即以右手握住 轴，轴时，轴当右手的四个手指从正向角度转向正向以轴的大拇指的指向就是正向.2 2第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数xyz0
2、 面面面空间直角坐标系共有八个卦限3 3第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间的点有序数组4 4第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数特殊点的表示:轴上的点轴上的点轴上的点面上的点面上的点面上的点坐标原点5 5第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数2 空间两点间的距离 设为空间两点在直角使用勾股定理知及直角中，空间两点间距离公式6 6第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量
3、代数空间解析几何与向量代数解结论成立.例1 求证以顶点的三角形是一个等腰三角形.三点为7 7第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数解所求点为例2 设在轴上，它到到点的距离的两倍，求点 的坐标.的距离为因为在轴上， 设点坐标为8 8第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数二 向量在轴上的投影与投影定理是上坐标依次为轴的两个点, 9 9第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与
4、一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们 的夹角可在0与 之间任意取值.向量与向量的夹角空间一点在轴上的投影过点作轴的垂直平面， 即为点在轴上的交点投影. 1010第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点和终点在轴上的投影分别为那么轴上的有向线段的值，向量在轴上的投影记为向量的投影定理（1）向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦，即上的投影.轴称为向量在1111第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代
5、数证 设向量在轴上投影为过点作平行 于轴的数轴且与轴同向，因此与的夹角也是且又因为所以 定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 1212第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.1313第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数1 向量的坐标表示式三 向量的坐标以分别表示沿轴正向的单位向量. 设向量则由于所以存在实数使得同理存在实数使得所以1
6、414第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数称起点固定在原点，终点在点的向量的向径，为点称向量的这种表示法为按基本单位向量的坐标分解式。分别称向量为在三个坐标轴上的分向量，称为向量的坐标， 向量又可以表示为称向量的这种表示法为向量的坐标表达式。则1515第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数2 向量的模与方向余弦的坐标表示式设向量则所以向量的模的坐标表示式1616第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数称非零向量
7、 的正向的夹角为方向角.与三条坐标轴由投影定理（1）同理1717第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数时，当称非零向量的方向角的余弦为的方向余弦。1818第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为1919第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数2 向量的加减法、数乘向量的运算的坐标表达式 设所以同理2020第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与
8、向量代数空间解析几何与向量代数例3 设和为两已知点， 直线上的点分有向线段为两部分使它们的值的比等于某数即而在(1) 求向量分点的坐标表示式。解设 分别为点的向径，则所以2121第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数设为直线上的点，解由题意知：(2) 求分点的坐标.2222第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数所以所求点为为有向线段的定比分点.为中点时，特别2323第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数解所求向
9、量有两个，一个与 同向，一个反向或例4 求平行于向量的单位向量的坐标分解式.2424第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数例5 设有向量已知它与轴和轴的夹角分别为 和 如果的坐标为求的坐标.解设向量的方向角为设的坐标为2525第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数的坐标为由于所以2626第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数例6 设求向量在轴轴上的分向量. 上的投影及在解在轴上的投影为在轴上的分向量为2727第二节第二节 向量的坐标表示向量的坐标表示第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦，即向量的投影定理（1）2828
