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1、一、Eucid空间点集相关概念（1）n 维空间实数 x一一对应数轴点. 数组 (x, y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应平面点(x, y) 全体表示平面(二维空间)数组 (x, y, z)一一对应空间点(x, y, z) 全体表示空间(三维空间)推广：n 维数组 (x1, x2, , xn) 全体称为 n 维空间，记为（3）Euclid空间在n维空间Rn上定义加法和数乘运算： （2）向量空间则Rn成为向量空间。 在n维向量空间Rn上定义内积运算： 则Rn成为Euclid空间。其中内积有如下性质： (i)正定性：0,而=0当且仅当x=0; (ii)对称性:=; (iii)线性性:=a+b;
2、 (iv)Schwarz不等式:2 .（4）Euclid空间中的距离定义：(5)距离有下面的性质: (i)正定性:|x-y|0,|x-y|=0当且仅当x=y; (ii)对称性:|x-y|=|y-x|; (iii)三角不等式:|x-z|x-y|+|x-z|;一、平面点集R中邻域（1）R2邻域Rn中的邻域Rn中点列收敛概念:定义:设 xk是Rn 中的点列,若存在Rn中的点a,使得对于 任意的 ,存在正整数K,成立,则称xk收敛于a或者a是xk的极限.记为Lim kx k =a. 定理: Lim kx k =a的充分必要条件是Lim kx i k =ai.（2）区域例如，即为开集内点.内点：开集：开
3、集.边界点：边界点.连通：连通的.开区域：连通的开集称为区域或开区域 例如 ，例如 ，闭区域：对于点集 E，如果存在正数 K，使一切点 PE与某一点 A 间的距离 |AP| 不超过 K，即对于一切点 PE 成立，则称 E 为有界点集。否则称为无界点集.有界闭区域 ；无界开区域例如 ，（3）聚点（1）内点一定是聚点；说明：说明：（2）边界点可能是聚点,也可能不是聚点；例如，(0, 0) 既是边界点也是聚点（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,(0, 0) 是聚点但不属于集合例如,边界上的点都是聚点也都属于集合性质定理第一组:(1)x是S的聚点的充分必要条件是: 存在S的点列 x k
4、|x k S, x k x,使得Lim kx k =x.(2)S为闭集的充分必要条件为Sc是开集.(3)任意组开集的并是开集;(4)任意组闭集的交是开集;(5)有限个开集的交是开集;(6)有限个闭集的并是闭集;性质定理第二组:De Morgan公式:设Sa是(有限或者无限)Rn中的子集合, 则二、Euclid空间基本定理（1）闭区间套定理11.1.6:设是一列矩形套，如果则存在唯一点a每个k .（2）Cantor闭区域套定理11.1.6 :设是一列 闭区域套，如果则存在唯一点a每个Sk .（3）一个应用：Bolzano-Weierstrass定理：定理：Rn上的有界点列xn必有收敛子列。证明：
5、推论： Rn上的有界无限点集至少有一个聚点。Cauchy收敛原理：定义： Rn中的点列xn满足：对于任意的 0,存在正整数K，使得对任意的k,lK,成 立|xl-xk| 是他的公开发表的唯一的数学著作标志着解析几 何的诞生.恩格斯说:“数学的转折点是迪卡尔的变 数.” Bolzano：1781-1848，捷克数学家http:/www-history.mcs.st -andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano.html,与Weierstrass有过 合作研究,主要贡献在数学和哲学。 Heine：1821-1881，德国数学家，主要贡献在给出一致连 续概念，研究兴趣在sph
6、erical functions, Lam functions, and Bessel functions.发表超过50篇论文。 Borel：1871-1956，法国数学家，主要研究为测度论、概 率论（Borel集是其提出的典型集合），one of the founders of the theory of functions of real variables 。 http:/www.cartage.org.lb/en/themes/Biographies/MainBiogra phies/H/Heine/1.html Augustin-Louis Cauchy:1789-1857,法国数学家，积分定义 为和的极限，无穷级数的收敛发散判别，定义了“行列式” 及运算等。 听雨尘心含藏识读书博客http:/ 回忆点集 D -定义域，- 值域.x、y -自变量，z -因变量.类似地可定义三元及三元以上函数点集 D -定义域，- 值域.x、y -自变量，z -因变量.函数的两个要素:定义域、对应法则.与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例1 求 的定义域解所求定义域为（6）二元函数 的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:
