频域中的离散时间信号

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1、第3章 频域中的离散时间信号n连续和离散时间傅里叶变换n离散时间傅里叶变换定理n连续时间信号的数字处理傅立叶 1768-1830 (Fourier, Jean Baptiste Joseph) 法国数学家、物理学家最早使用定积分符号 改进符号法则、根数判别方法 傅立叶级数创始人 1807 热的传播 推导热传导方程中发现解函数可以由三角函数级数构成的级数形式表示 1822 热的分析理论 傅立叶级数、分析等理论1、连续和离散时间傅里叶变换傅立叶分析方法的历史l古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运动l 1748年 欧拉振动弦的形状是振荡模的线性组合l1753年 D伯努利弦的实际运动

2、可用标准振荡模的线性组合来表示l1759年 拉格朗日不能用三角级数来表示具有间断点的函数l 1822年 傅立叶“热的分析理论” 中提出并证明周期函数的正弦级 数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础l 1829年 P.L狄里赫利周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件l 19-20世纪两种傅立叶分析方法-连续与离散l 1965年 Cooley & Tukey (IBM)发明FFT 算法四种常用的傅立叶变换 时域频域离散连续离散时间傅立叶变换连续连续连续时间傅立叶变换离散离散离散傅立叶变换连续离散连续时间傅立叶级数连续时间傅立叶变换(FT) x(t)X(j)正变换反变换正变换 分解(提取) 反变换 合

3、成(还原)条件 有限个不连续点 绝对可积引例时域和弦 中音CEG频域如何分解出CEG分量？傅立叶变换的物理意义滤波相乘中音C每个频率分量？频域滤波器时域卷积频率 为 分量幅度频率通带 变窄x(t)x(t)滤波器 频域频率幅度时域 单位冲击响应与 t 无关 常数x(t)x(t)非周期连续时间信号非周期连续频率函数常见信号频谱连续时间傅立叶级数(FS)周期正变换 反变换收敛性 抽样定理周期连续时间信号非周期离散频谱函数常见信号频谱离散时间傅里叶变换(DTFT)正变换 反变换非周期离散信号周期连续频率函数常见信号频谱DTFT频谱 的性质：1. 模与幅角2. 对于实序列证明：复序列的离散时间傅立叶变换

4、的对称关系序列 离散时间傅立叶变换 对称关系实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系序列 离散时间傅立叶变换 对称关系 注: 和 分别代表着 的偶部和奇部DTFT的收敛条件（convergence)如果xn的DTFT在种意义上收敛，则称xn的傅立叶变换存在例：低通滤波器能量有限，但不绝对可和2、均方收敛周期冲激串 periodic impulse train2、 DTFT的性质1. 线性 2. 时间反转 证明：m=-n3. 时移证明m=n-n0幅度(功率)谱不变仅影响相位谱解：傅立叶反变换vn4. 频移证明：调频广播、频率调制5. 频域微分证明：6. 卷积证明：m=n-k7.调制定理(也称为加窗定

5、理)证明高频例：幅度调制低频0-幅度频率幅度0-oo频率低通 滤波解调低频高频例：加窗无限长序列窗函数加窗后频谱产生失真测不准原理：时域分辨率*频域分辨率常数加窗实例频谱频谱加窗后频谱产生失真正 弦 序 列8. 帕斯瓦尔公式 证明：时域的能量等于频域的能量称为能量谱密度特例： 采样 量化 A/D与D/A 转换3、 连续时间信号的数字处理抗混叠 滤波器A/D 变换器数字信号 处理器D/A 变换器抗镜像 滤波器模拟模拟理想抽样器离散时间信号 处理器理想内插器2.1 采样（Sampling 抽样）采样导致信号丢失能否从采样点中找回丢失？能否无失真恢复原始连续信号？两点采样即可代表直线三点采样即可代表

6、圆外心=圆心n+1个点可以无失真恢复n次多项式的曲线如果加以限制 可以用有限、离散的点代表全部信号对信号的什么加以限制，可 以无失真的采样？频率范围是信号 重要特征实际信号一般都是带宽受限信号音乐：20Hz22kHz， CD采样频率44.1KHz：中音1的1万倍 1个高八度倍频电话声音：300Hz-3400Hz， 电话采样频率为8KHz特例： 白噪声， 带宽无限随机信号，整体性能 采样的参数 TS：采样周期sampling period fS：采样频率sampling frequency 采样定理 (sampling theorem)： 带宽为 W Hz 的信号，至少要以每秒2W次的采样频率进

7、行采样，才可能由采样值恢复原来的信号 最小采样频率称为奈奎斯特采样率 (Nyquist sampling rate)l采样的时域表达：T: 采样周期. FT=1/T: 采样频率XImpulse to sequence)( )( )(tpnx t xtxpa 理想采样：p 模拟输入*脉冲串p 连续时间信号 离散时间信号xa (t)p(t)xp(t)xnt频谱?t t原始信号采样信号理想采样在频域的表示：周期性延拓注：抽样角频率(弧度/秒)WWWW- NN)( jXa)2()(NajXWWWWWWWWLL采样信号的恢复 （抗镜像滤波低通滤波）简单的DSP系统抗混叠 滤波器A/D 变换器数字信号 处

8、理器D/A 变换器抗镜像 滤波器模拟xa(t)模拟ya(t)x(n)y(n)采样量化转换为模拟电平零阶保持ADCDACDSP带宽信号的频谱延拓声音1：采样频率22.05KHz，数字化16Bit，双声道录音。离散信号的信息与采样频率的关系（示例）声音1：采样频率1.38KHz，数字化16Bit，双声道录音。声音1：采样频率689Hz，数字化16Bit，双声道录音。l窄带信号的采样 不混叠的条件（包含临界点） 定义信号带宽，若，为整数， 则当时，取最小值 当采样率取采样后的带通信号就可以被无失真的恢复 l窄带信号处理过程 限制信号带宽，可以无失真恢复原信号 对于低频信号，采样率必须是信号最大 频率

9、的2倍 对于窄带信号，采样率取大于信号带宽 的2倍即可采样小结：例：汽车开动时发现轮胎反向转动，此时车速 至少多少？ （车轮外直径0.5米，视觉停留时间0.1秒）解：车轮转一个周期行使3.14*0.5米，当一周期眼睛 采样两次达临界状态（2*0.1秒），此时车速： 3.14*0.5/（2*0.1）= 7.85 米/秒 = 28.26 公里/小时 量化(12.1节) 电平表示的模拟信号:02v ,05v ,015v 二进制表示的数字量: 2比特(bit): 00, 01, 10, 11 8比特(bit): 00000000, 000001, .,11111111 2Nl 关键问题 如何使量化失真

10、最小 量化区间划分 每个区间的量化取值 标量量化 线性量化(Linear)采用等距离的间隔空间； 非线性量化(Nonlinear)采用不同的间隔空间，如 “对数量化法” 单极量化(Unipolar) 被量化的信号只有正极性 双极量化(Bipolar)被量化的信号有正负极性 矢量量化量化分类单极线性量化(去尾)双极线性量化(四舍五入)非均匀量化 量化步长(quantization step)N比特量化，2N个编码电平各电平之间的间距称为量化步长R 最大标定模拟范围l量化误差 = 量化值实际值l量化噪声(quantization noise)量化比特数N越大量化步长Q越小 量化误差、量化噪声越小例

11、:已知最大可容许量化误差电平时， 求量化比特数。解:量化比特数为l信噪比(signal-to-noise ratio, SNR) 用来判断信号与噪声区分的难易程度 单位：dB SNR越大，信号越强例：已知R = 03V, N = 3bit, 求单极量化结果。解： 步长量化表数字代码 量化电平（V） 相应的模拟电压范围（V）000 0.0 0.0x0.1875001 0.375 0. 1875 x0.5625010 0.75 0. 5625 x0.9375011 1.125 0. 9375 x1.3125100 1.5 1.3125 x 1.6875101 1.875 1.6875 x2.062

12、5110 2.25 2.0625 x 2.4375111 2.625 2.4375 x 3.000 矢量量化标量量化一维矢量量化多维率畸变理论表明，矢量量化总优于标量 量化 相关性 空间填补 形状标量量化 矢量量化采样与量化的工程实现模数转换低通滤波器采样量化l采样前引入低通滤波器（抗混叠滤波 器 antialiasing filter），确保滤除2W 以上的频率分量，并帮助去除信号中 包含的噪声或其他次要的高频分量 比特率(bit rate)：度量比特数产生的速 度，通常用来度量A/D转换器的性能比特率Nfs其中N为每个采样值的比特数，fs是每秒的采样点 数，单位为b/s例：模拟信号01V，采样频率5000次/秒， 3bit量化，求单极量化电平和比特率。比特率 3bit/采样值5k个采样值/秒15kb/s解：内插的工程实现数模转换低通滤波器l内插模拟信号的恢复低通滤波器T低通滤波器 低通滤波器（抗镜像滤波器）的作用滤除零阶保持信号中的寄生高频分量 频域：有效滤除了采样过程中产生的频谱镜像 时域：使阶梯状的零阶保持信号的陡缘边平滑采样保持信号和原信号零阶保持信号和采样信号还原信号和零阶保持信号原信号和还原信号原信号 与还原 信号之 间有何 差别？ 什么引 起的？练习：3.33, 3.53, 3.54, 3.66