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1、第四章时间序列模型平稳性检验第四章时间序列模型平稳性检验一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： 时间序列数据（time-series data)； 截面数据(cross-sectional data) 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data)时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归模型与数据的平稳性 经典回归分析暗含
2、着一个重要假设：数据是平稳的 。 数据非平稳，大样本下的统计推断基础“一致性 ”要求被破怀。 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变 量 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：(1)X与随机扰动项 不相关Cov(X,)=0依概率收敛：(2)第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性” 特性：第（1）条是OLS估计的需要如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基于 大样本的统计推断也就遇到麻烦。因此 ：注意：在双变量模型中：表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：例如：如果有两列时间序列数据表现出
3、一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的 关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。在现实经济生活中：情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关 系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归 ”问题时间序列分析模型方法就是在这样的情况下， 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内 容，并广泛应用于经济分析与预测当中。二、时间序列数据的平稳性时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列
4、 数据的平稳性问题。假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列Xt（t=1, 2, ） 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果 满足下列条件：1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数；2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该 随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。 例4.1一个最简单的随机时间序列是一具有零均 值同方差的独立分布序列：
5、Xt=t ， tN(0,2)例4.2另一个简单的随机时间列序被称为随机游 走（random walk），该序列由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+t 这里， t是一个白噪声。该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由 定义,一个白噪声序列是平稳的。为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的 初值为X0，则易知X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2 Xt=X0+1+2+t由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列 。容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1
6、) 然而，对X取一阶差分（first difference）:Xt=Xt-Xt-1=t 由于t是一个白噪声，则序列Xt是平稳的。后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的， 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回 归AR(1)过程的特例Xt=Xt-1+t 不难验证:1)|1时，该随机过程生成的时间序列是 发散的，表现为持续上升(1)或持续下降(0，样本自相关系数近似地服从 以0为均值，1/n 为方差的正态分布，其中n为样 本数。也可检验对所有k0，自相关系数都为0的联合假 设，这可通过如下QLB统计量进行：该统计量近似地服从自由度为m的2分 布（m
7、为滞后长度）。因此:如果计算的Q值大于显著性水平 为的临界值，则有1-的把握拒绝所有 k(k0)同时为0的假设。例例4.3:4.3: 表4.1序列Random1是通过一随 机过程（随机函数）生成的样本容量为19 的随机时间序列。 表 4.1 一个纯随机序列与随机游走序列的检验 序号 Random1 自相关系数 kr(k=0,1,17) LBQRandom2 自相关系数 kr(k=0,1,17) LBQ1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3
8、.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=4, 0.280 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454
9、 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.136 -0.249 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16
10、 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.377 0.105 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 容易验证：该样本序列的均值为0，方差为0.0789 。从图形看：它在其样本均值0（a）附近上下波动，且样本 自相关系数（b）迅速下降到0，随后在0附近波动且逐渐收敛 于0。由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存 在序列相关性，因此该序列为一白噪声。 根据Bartlett的理论：k
11、N(0,1/19)因此任一rk(k0)的95%的置信区间都将是可以看出:k0时，rk的值确实落在了该区间内 ，因此可以接受k(k0)为0的假设。同样地，从QLB统计量的计算值看，滞后17期的 计算值为26.38，未超过5%显著性水平的临界值 27.58，因此,可以接受所有的自相关系数k(k0) 都为0的假设。因此，该随机过程是一个平稳过程。 序列Random2是由一随机游走过程Xt=Xt-1+t生成的一随机游走时间序列样本。 其中，第0项取值为0， t是由Random1表示的白噪声 。样本自相关系数显示：r1=0.48，落在 了区间-0.4497, 0.4497之外，因此在5% 的显著性水平上
12、拒绝1的真值为0的假设。该随机游走序列是非平稳的。图形表示出：该序列具有相同的均值， 但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速 下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波 动且呈发散趋势。例4.4 检验中国支出法GDP时间序列的平稳性。表4.2 19782000年中国支出法GDP（单位：亿元）年份GDP年份GDP年份GDP 19783605.6198610132.8199446690.7 19794073.9198711784199558510.5 19804551.3198814704199668330.4 19814901.4198916466199774894.2 19825489.2199
13、018319.5199879003.3 19836076.3199121280.4199982673.1 19847164.4199225863.6200089112.5 19858792.1199334500.6 图形：表现出了一个持续上升的过程， 可初步判断是非平稳的。 样本自相关系数：缓慢下降，再次表明 它的非平稳性。 图 4.5 19782000 年中国 GDP 时间序列及其样本自相关图 -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810121416182022GDPACF02000040000600008000010000078808284868890929496
14、9800GDP拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1 期之后的值全部为0的假设。结论: 19782000年间中国GDP时间序列是非平稳 序列。从滞后18期的QLB统计量看：QLB(18)=57.1828.86=20.05例4.5 检验3.10中关于人均居民消费与人均 国内生产总值这两时间序列的平稳性。原图 样本自相关图 从图形上看：人均居民消费（CPC）与人均国 内生产总值（GDPPC）是非平稳的。 从滞后14期的QLB统计量看：CPC与GDPPC序列的统计量计算值均为57.18 ，超过了显著性水平为5%时的临界值23.68。再 次表明它们的非平稳性。就此来说，运用传统的回归方法建立它们的 回归
15、方程是无实际意义的。不过，第三节中将看到，如果两个非平稳时 间序列是协整的，则传统的回归结果却是有意义 的，而这两时间序列恰是协整的。 四、平稳性的单位根检验对时间序列的平稳性除了通过自相关系数及其 图形直观判断外，运用统计量进行统计检验则是更 为准确与重要的。单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍 应用的一种检验方法。 1、DF检验 已知道，随机游走序列Xt=Xt-1+t 是非平稳的，其中t是白噪声。 而该序列可看成是随机模型Xt=Xt-1+t 中参数=1时的情形。也就是说，我们对式Xt=Xt-1+t （*） 做回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有一个单位根。 （*）式可变形式成差分形式：Xt=(1-)Xt-1+ t=Xt-1+ t (*)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（ *）式判断是否有 =0。一般地:检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验带 有截距项的一阶自回归模型Xt=+Xt-1+t （*） 中的参数是否小于1。或者：检验其等价变形式Xt=+Xt-1+t （*）
