人教版·选修 对回归模型的统计检验

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1、1.1.2 对回归模型的统计检验人教版选修12 思考P5： 如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上 与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重 将相同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女大学生的体重都是她们 的平均值，即8个人的体重都为54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号54.5kg在散点图中，所有的点应该落在同一条 水平直线上，但是观测到的数据并非如 此。这就意味着预报变

2、量（体重）的值 受解析变量（身高）或随机误差的影响。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg 。 解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg ， 相差6.5kg，所以6.5kg是解析变量和随机误差的组合效应。编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解析 变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg， 这时解析变量和随机误差的组合效应为-

3、4.5kg。用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用表示总的效应，称为总偏差平方和。在例1中，总偏差平方和为354。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量 （身高）？有多少来自于随机误差？假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图 中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归 直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归

4、 直线上“推”开了。在例1中，残差平方和约为128.361。因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应， 称 为残差。例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。表示为：由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的 效应为128.361，所以解析变量的效应为解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。我们可以用相关

5、指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是离差平方和的分解（三个平方和的意义） 总偏差平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总 离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变 化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线 性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释 的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和样本决定系数（判定系数 r2 ） 回归平方和占总离差平方和的比例2.2. 反映回归直线的拟合程度反映回归直线的拟合程度 3.3. 取值范围在取值范围在 0 , 1 0 , 1 之间之

6、间 4.4. r r2 2 1 1，说明回归方程拟合的越好；说明回归方程拟合的越好；r r2 20 0， 说明回归方程拟合的越差说明回归方程拟合的越差 5.5. 判定系数等于相关系数的平方，即判定系数等于相关系数的平方，即r r2 2( (r r) )2 2我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和 预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则 可以通过比较R2

7、的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组 数据的模型。总的来说： 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是1354总计0.36128.361随机误差0.64225.639解释变量比例平方和来源表1-3从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%， 即R2 0.64，可以叙述为：“身高解析了64%的体重变化”， 而随机误差贡献了剩余的36%。 所以，身高对体重的效应 比随机误差的效应大得多。表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要

8、根据散点图来粗略 判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。编号12345678 身高 /cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359 残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差， 横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样 作出的图形称为残差图。残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴

9、可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以 横轴为心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在 采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠 正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有 错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选 用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合 精度越高，回归方程的预报精度越高。用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建

10、立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察 它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线 性关系，则选用线性回归方程:y=bx+a）.（4）按一定规则

11、估计回归方程中的参数（如最小二乘法） 。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残 差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常 ，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。什么是回归分析？什么是回归分析？ （内容）（内容） 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验对这些关系式的可信程度进行各种统计检验 ，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出 哪些变量的影响显著，哪些不显著哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值，取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度并给出这种预测或控制的精确程度作业： P 11 习题1.1 T1