窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器

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1、 广州大学物理与电子工程学院第五章 FIR数字滤波器的设计5.2 窗函数法设计线性相位 FIR数字滤波器主要内容一、窗函数法设计线性相位一、窗函数法设计线性相位FIRFIR滤波器的滤波器的基本基本思想思想二、二、GibbsGibbs（吉伯斯）现象（吉伯斯）现象三、三、常用窗函数常用窗函数四、四、KaiserKaiser( (凯泽凯泽) )窗窗重点与难点重点 1、窗函数设计法的基本思想窗函数设计法的基本思想难点 1、常用窗函数常用窗函数一一、基本思想、基本思想问题：理想滤波器的频率响应Hd (ejW )已知，如何设计一 物理可实现的滤波器，使其频响特性逼近Hd (ejW )?hd k一般情况下是

2、无限长非因果序列，需对其进行截短截短和因果化因果化处理。一一、基本思想、基本思想可实现性处理方案可实现性处理方案 方案一：方案一：(1) 将hdk 关于k =0对称截短，即hk= hdk, -Lk L(2) 若 hk非因果系统，可将其右移使其成为因果系统hk= hdk - L， 0k 2L只能设计I型或III型线性相位FIR滤波器(1) 由下式计算hd k：(2) 计算出hdk后，取其在0 k M范围的值：hk= hdk， 0k M一、基本思想一、基本思想可实现性处理方案可实现性处理方案 方案二：方案二： 可设计四种类型的线性相位FIR滤波器一、基本思想一、基本思想第二种方法的设计结果分析第二

3、种方法的设计结果分析等于零，即等于零，即h h k k= h hd d k k, , 0 0 k k MM最小最小 ！积分平方误差：积分平方误差：由由ParsevalParseval定理定理结论：上述方法所设计的滤波器是在积分平方误差最小意义下的最佳滤波器。 一、基本思想一、基本思想（采用方案二）（采用方案二）1根据要求确定线性相位FIR滤波器的类型2确定理想滤波器的幅度函数Ad(W)和相位函数fd(W) 3按照下式计算IDTFT得hdk4截短hdk得：hk= hdk， 0k M最小积分平方误差设计最小积分平方误差设计FIRFIR滤波器的步骤：滤波器的步骤：fd(W)= -0.5MW +b例例

4、1 1：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线 性相位FIR滤波器。 解：解：(1) 确定线性相位FIR滤波器类型：可选用I型或II型(2) 确定理想滤波器的幅度函数Ad(W)：fd(W)= -0.5MW (3) 确定理想滤波器的相位fd(W)：例例1 1：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线 性相位FIR滤波器。解：解： (4) 计算IDTFT得hdk(5) 截断hdk长度为N=M+1的矩形窗例例1 1：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线 性相位FIR滤波器。解解 ：单位脉冲响应 幅度函数 取Wc1=0.3p，Wc2=0.7p，M =30时，有： 二、二、GibbsGibbs（吉

5、伯斯）现象（吉伯斯）现象00.250.50.751-40-30-21-100M=14 M=30矩形窗设计的FIR低通滤波器在不同阶数时的幅度函数(Wc=p/2) 所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象 ，且最大波纹大约为幅度的9%，这个现象称为Gibbs 现象。 二、吉伯斯现象二、吉伯斯现象产生吉伯斯现象原因分析产生吉伯斯现象原因分析由于所设计滤波器的单位脉冲响应N=M+1利用DTFT的性质可得所设计FIR滤波器的频率响应 H(ejW)逼近Hd(ejW)的好坏，取决于窗函数的频谱WN(ejW) 窗函数的频谱二、吉伯斯现象二、吉伯斯现象长度为长度为N N的矩形窗窗函数的频谱的矩形窗窗

6、函数的频谱2p NN04p NW p3p N矩形窗的幅度 函数W(W)1. W(W)的主瓣宽度：4p/N2. 旁瓣相对衰减为常数：=13dB二、吉伯斯现象二、吉伯斯现象矩形窗设计矩形窗设计FIRFIR滤波器的频率响应滤波器的频率响应HH(e(ej jWW) )FIR滤波器的幅度函数 ：二、吉伯斯现象二、吉伯斯现象矩形窗设计矩形窗设计FIRFIR滤波器的频率响应滤波器的频率响应HH(e(ej jW W ) )H(ejW)主要由主瓣的面积确定。H(ejW)的波动由旁瓣引起。FIR滤波器的幅度函数 ：二、吉伯斯现象二、吉伯斯现象矩形窗设计矩形窗设计FIRFIR滤波器的频率响应滤波器的频率响应HH(e

7、(ej jWW) )H(ejW)逐渐减小，形成 了滤波器的过渡带。 FIR滤波器过渡带的宽 度和窗函数主瓣的宽度 密切相关。 FIR滤波器的幅度函数 ：二、吉伯斯现象二、吉伯斯现象矩形窗设计矩形窗设计FIRFIR滤波器的频率响应滤波器的频率响应HH(e(ej jWW) )H(ejW)完全由旁瓣的面 积确定。 旁瓣的大小决定了FIR 滤波器在阻带的衰减。 FIR滤波器的幅度函数 ：二、吉伯斯现象二、吉伯斯现象矩形窗设计矩形窗设计FIRFIR滤波器的频率响应滤波器的频率响应HH(e(ej jWW) )矩形窗截断产生的波峰大约是9%，故用矩形窗设 计出的滤波器阻带最大衰减为： -20lg0.0921

8、dB FIR滤波器的幅度函数 ：二、吉伯斯现象二、吉伯斯现象结论结论1. 窗函数的主瓣宽度决定了H(ejW )过渡带(4/N)的 宽度,窗函数长度N增大，过渡带减小。2. 旁瓣的大小决定了FIR滤波器在阻带的衰减。用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为： 20lg(9%)-21dB如何提高阻带衰减如何提高阻带衰减? ?选用旁瓣幅度较小的窗函数选用旁瓣幅度较小的窗函数三、常用窗函数三、常用窗函数矩形窗矩形窗Ap =-20lg(1-dp) 0.82dB, As = -20lg(ds ) 21dBdp=ds=0.09三、常用窗函数三、常用窗函数Hann( Hann(汉纳汉纳/ /汉宁汉宁) )窗窗(w

9、=hanning(M+1)(w=hanning(M+1)Ap =-20lg(1-dp) 0.056dB,As=-20lg(ds ) 44dBdp=ds =0.0064三、常用窗函数三、常用窗函数Hamming( Hamming(哈明哈明/ /汉明汉明) )窗窗(w=hamming(M+1)(w=hamming(M+1)Ap 0.019dB, As 53dBdp=ds =0.0022N三、常用窗函数三、常用窗函数Blackman ( Blackman (布莱克曼布莱克曼) )窗窗(w=blackman(M+1)(w=blackman(M+1)Ap 0.0017dB，As 74dBdp=ds =0

10、.0002N三、常用窗函数三、常用窗函数常用窗函数性质常用窗函数性质此处 N 为窗的长度。例例2 2：用非矩形窗设计截频为Wc =0.5p的线性相位理想低 通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。解：解： (1) 确定线性相位FIR滤波器类型：可选用I型或II型fd(W)= -0.5MW(2) 确定理想滤波器的幅度函数Ad(W)和相位 fd(W)(3) 计算IDTFT得hdk(4) 截断hdk可以是汉宁窗、哈明窗或Blackman窗矩形窗和矩形窗和汉宁汉宁窗设计的低通对比窗设计的低通对比0 00.250.250.50.50.750.751 1-80-80-60-60-44-44-20-

11、200 0Square Square HanningHanning例例2 2：用非矩形窗设计截频为Wc =0.5p的线性相位理想低 通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。矩形窗和矩形窗和哈明哈明窗设计的低通对比窗设计的低通对比00.250.50.751-80-60-52-200 Square Hamming例例2 2：用非矩形窗设计截频为Wc =0.5p的线性相位理想低 通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。矩形窗和矩形窗和BlackmanBlackman窗设计的低通对比窗设计的低通对比00.250.50.751-100-75-60-40-200 Square Blackm

12、an例例2 2：用非矩形窗设计截频为Wc =0.5p的线性相位理想低 通滤波器，并将设计结果与利用矩形窗设计结果比较。四、四、Kaiser(Kaiser(凯泽凯泽) )窗窗b 是一可调参数，调节窗函数的形状。I0(x ): 零阶第一类修正贝塞尔函数。I0(x )可用幂级数表示为：一般求20项就能达到所需精度。定义定义( ( w=kaiser(N,beta)w=kaiser(N,beta) ) )四、四、KaiserKaiser( (凯泽凯泽) )窗窗0246810121416182000.51b=00246810121416182000.51b=10246810121416182000.51b

13、=3b b取不同值时窗的形状取不同值时窗的形状(M=20)(M=20)四、四、Kaiser(Kaiser(凯泽凯泽) )窗窗其中，A= -20lg (mindp，ds )N N与与b b 的确定的确定四、四、Kaiser(Kaiser(凯泽凯泽) )窗窗KaiserKaiser窗设计窗设计FIRFIR滤波器的滤波器的MATLABMATLAB函数函数M,Wc,beta,ftype = kaiserord(f,a,dev)M,Wc,beta,ftype = kaiserord(f,a,dev) f f: : 表示需设计的FIR滤波器的频带。 a a: : B个元素的向量, 表示FIR滤波器在B个频

14、带中的幅度值。一般对通带取值为1，阻带取值为0。 dev dev: : B个元素的向量, 表示FIR滤波器在B个频带中的波动值。 返回参数MM及betabeta，分别表示FIR滤波器阶数M 及Kaiser窗的参数b。 返回参数WcWc和ftypeftype是函数fir1的调用参数。h = fir1(M,Wc,ftype,window)h = fir1(M,Wc,ftype,window) M M表示滤波器的阶数。 Wc Wc表示理想FIR滤波器的B个频带。 ftype ftype表示滤波器的类型，缺省值为空。 window window是一长度为N+1的向量, 默认为 Hamming窗。四四、

15、Kaiser(Kaiser(凯泽凯泽) )窗窗获得获得FIRFIR滤波器的单位脉冲响应滤波器的单位脉冲响应例例3 3：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低 通滤波器。Wp=0.3p, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。解：解：(1) 由给定指标确定待逼近理想低通的截频Wc由于理想低通滤波器的|H(ejW)|在截频Wc处收敛于 0.5，因此常将截频Wc取在过渡带的中点Wc =(Wp + Ws )/2=0.4p解：解：(2) 由给定指标确定Kaiser窗的参数N和bA= -20lg(mindp，ds )=As=40dBI型线性相位滤波器阶数必须是偶数，取M=24例例3 3：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低 通滤波器。Wp=0.3p, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。解：解：(3) 设计截频Wc =0.4p的I型线性相位FIR低通滤波器fd(W)= -0.5MW例例3 3：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低 通滤波器。Wp=0.3p, Ws=0.5p，Ap=0.1dB, As=40dB。解：解：单位脉冲响应设计结果增益响应 G(W)= 20lg |H(ejW)|例例3 3：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低 通滤波