理论力学课件—力系的平衡

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1、第第3 3章章 力系的平衡力系的平衡 结论与讨论结论与讨论 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程 平面汇交力系的平衡平面汇交力系的平衡 平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡 平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系的平衡条件与平衡方程1. 平衡的几何条件结论：平面汇交力系平衡的必 要和充分条件是：该力系的力 多边形自行封闭。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。F2F3FRF1AF4F2F3F5F1AF43.1平面汇交力系的平衡例例 题题 1 1已知：P，a 求：A、B处约束反力。2 2a aPa aABCD解：解： （1 1）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象（2 2）画受

2、力图）画受力图（3 3）按比例作图求解）按比例作图求解FB FAPFBFA由图中的几何关系得由图中的几何关系得2. 平面汇交力系解析法平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个 坐标轴上投影的代数和等于零。平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。 若FR=0,则有(*)(*)式称为平面汇交力系的平衡方程例例 题题 2 2已知：P，a 求：A、B处约束反力。2 2a aPa aABCD解：解： （1 1）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象（2 2）画受力图）画受力图 FBxy（3 3）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解FABMFAC简易压榨机如图所示，已知：推杆上作用力F

3、， A、B、C三处均为光滑铰链，角度已知。杆重不计。例例 题题 3 3求：托板给物体M的压力。FBCFBAF B解：（1）取销钉B为研究对象CFCBFMFNC（2）取挡板C为研究对象解得解得3.2 平面力偶系的平衡若物体在平面力偶系作用下处于平衡， 则合力偶矩等于零反之，若合力偶矩为零，则该力偶系必然处于平衡。由此得到平面力偶系平衡的必要与充分条件是：各力偶 矩的代数和等于零。称为平面力偶 系的平衡方程？MaaABCa例例 题题 4 4求：A、 C 处约束反力。如图所示刚架，上面作用主动 力偶 M，a已知。自重不计。解：（1）取AB为研究对象（2）取BC为研究对象BCABMFBFCFA请思考可

4、否将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力 。在此种情况下，A、B、C处的约束反力有无变化。ACFAFC解：对于整体而言，力偶是平衡 的，即A,B两处的力必为一对平 衡力，如图。两个尺寸相同的矩形， 自重不计。求：A,B处的反力。ABCabFAFBFC,FA之间的距离然后取矩形AC为研究对象力偶平衡的方程式为即例 题 53.3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程F FR R=0=0 MMo o=0=0 平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上 的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数 和也等于零。 几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标

5、轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程1. 平面任意力系的平衡方程例例 题题 6 6已知：M=Pa 求：A、B处约束反力。2 2a aPa aMMABCDF FAxAxF FAyAyFBxy解法解法1:1:(2) (2) 画受力图画受力图(3) (3) 建立坐标系建立坐标系, ,列方程求解列方程求解(1) (1) 取刚架为研究对象取刚架为研究对象2 2a aPa aMMABCDF FAxAxF FAyAyFB解 法 2解上述方程，得解 法 3解上述方程，得（A、B、C 三点不得共线）（x 轴不得垂

6、直于A、B 两点的连线）平面任意力系平衡方程的三种形式基本形式基本形式二力矩式二力矩式三力矩式三力矩式FRB Ax是否存在三投影式？分布荷载的合力及其作用线位置q q( (x x) )荷载集度P Pd dP PdPdP= =q q( (x x) )dxdxq(x)AB合力大小：由合力之矩定理：合力作用线位置：合力作用线位置：hxdxlx两个特例(a) 均布荷载Ph(b) 三角形分布荷载Ph lq0qlxx解：取AB梁为研究对象例 题 7 悬臂梁如图所示，上面作 用均部荷载q和集中荷载F。求固定 端的反力。PPA lBFqAlBFqF FAxAxF FAyAyMMA A解：取三角形板ABC为研究

7、对象FDECBAaaaMMPF FA AF FB BF FC CPACaaaMMB一等边三角平板重为P，上面作用已知力偶M。用三根无重杆通过 铰链连接，如图所示。求：三杆对三角平板ABC的约束反力。例例 题题 8 8yxo（A、B两点的连线 不得与各力平行）F3F2 F1Fn二个方程只能求解二个未知量二力矩式二力矩式2. 平面平行力系的平衡方程平面任意力系的基本形式平面任意力系的基本形式假设所有的力都平行于y轴 ，则有解：取梁ABCD为研究对象图示外伸梁，受到三角形荷载q = 1kN/m，以及集中 荷载F = 2kN，求： A、B支座反力。例例 题题 9 9D1m2m1mABCFqPFNBNB

8、FNANAA AB B2 m 2 m 2 m2 m6 m6 m12 m12 mG G1 1G G2 2G G3 3塔式起重机如图所示。机架重G1=700 kN，作用线通 过塔架的中心。最大起重量G2=200 kN，最大悬臂长为12 m，轨 道AB的间距为4 m。平衡荷重G3到机身中心线距离为6 m。试问 ：(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为 多少? (2)当平衡荷重G3=180 kN时，求满载时轨道A，B给起重机 轮子的约束力？例例 题题 1010解：取塔式起重机为研究对象，受取塔式起重机为研究对象，受 力分析如图所示。力分析如图所示。满载时不绕满载时不绕B B点翻倒，

9、临界情况点翻倒，临界情况 下下F FA A=0=0，可得可得(1) 起重机不翻到A AB B2 m 2 m 2 m2 m6 m6 m12 m12 mG G1 1G G2 2G G3 3空载时，空载时，G G2 2 = 0= 0，不绕不绕A A点翻点翻 倒，临界情况下倒，临界情况下F FB B = 0= 0，可得可得则有则有 75 75 kNkNG G3 3350 350 kNkN列平衡方程列平衡方程解方程得解方程得(2) 取G3=180kN，求满载时轨道A ， B给起重机轮子的约束力。A AB BqC C2 2a a4 4a aG GMM如图所示水平梁AB，梁的 跨度为4a，自重G作用在梁的中

10、点C。 梁AC段上作用均布荷载q，梁的 BC段上作用力偶M =Ga。求A和B处的 约束力。 例例 题题 1111FBFAxFAy解：解：以水平横梁以水平横梁ABAB为研究对象。为研究对象。 PADE BCrFBxFByFAPADE BC aara构架如图，已知： a=4m，r=1m，P=12kN求：A、B处的反力。例例 题题 1212解：取图示部分为研究对象PADEBCaar45FTEPADBrFAxFAyFB45构架如图，已知： a=4m，r=1m，P=12kN求：A、B处的反力。例例 题题 1313解：取梁和滑轮D为研究对象PAqaaaaBPAqBFAxFAyMAF1F2构架如图，已知：

11、a=3m，q=4kN/m，P=12kN求：A处的反力。例例 题题 1414解：取刚架AB为研究对象其中 F112kN，F2=6kNxyPABCD603030FBAFBC求：BA、BC杆的内力。例例 题题 1515已知：图示简易起重架，吊重P 20kN，若不计杆重及滑轮B的尺寸，解：取滑轮B为研究对象B30PFD30yx90453060 F1 F2 ABCD9045F2BFBAFBC3060 F1C FCBFCD求：F1、F2的关系。例例 题题 1616已知：铰接连杆机构，在图示位 置处于平衡状态，杆重不计。解：取销钉B为研究对象沿x轴投影，得取销钉C为研究对象沿y轴投影，得又因为，FBC=FC

12、BDBMFACFNCFBA解：取图示部分为研究对象假设BCaBFCEFM例例 题题 1717简易压榨机如图所示，已知 ：推杆上作用力F，A、B、C三处均为 光滑铰链，角度已知。杆重不计。求：托板给物体M的压力。另解例题3。MABDCaaaa MBCFBFCFDADCFA解：取弯杆BC为研究对象取T形杆ADC为研究对象求：A处的反力。例例 题题 1818图示组合构架，弯 杆BC上作用一力偶M3.4 空间力系的平衡方程1. 空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系平衡的必要与充分条件为该力系的合力等于零空间力偶系平衡的必要与充分条件为该力偶系所有力偶矩的矢量和 等于零2. 空间力偶系的平衡方程平衡条件：

13、FR = 0Mo = 0 平衡方程:空间平行力系平面任意力系3. 空间任意力系的平 衡方程4. 空间平行力系的 平衡方程空间铰接结构形如 正角锥，各棱边与底面都成倾 角。B，C处是活动球铰链支 座，D处是固定球铰链支座。 顶点A的球铰链承受载荷F，不 计各杆自重，试求各支座的约 束反力和各杆的内力。例例 题题 1919解：解：建立如图坐标系 Bxyz，其中y轴平分 CBD。由于ABCD是 正角锥，所以AB与y 轴 的夹角为。三杆内力在坐标面三杆内力在坐标面BxyBxy上投影上投影1.取球铰链A为研究对象,受力分 析如图。为求各力在轴x，y上的投 影，可先向坐标面Bxy上投影， 然后再向轴上投影

14、。力力F FACAC 和和 F FADAD 在轴在轴 x x，y y上的投影上的投影：3 3. .联立求解。联立求解。负号表示三杆都受压力。负号表示三杆都受压力。2.列平衡方程。联立求解得联立求解得4.取球铰链B为研究对象,列平衡方程。5.同理，再取球铰链C 和D为研究 对象，可求得：x xz zy y2002007575A AB BF Fy yF Fz zF Fx x镗刀杆的刀头在镗削工 件时受到切向力Fz， 径向力Fy，轴 向力 Fx的作用。各力的大小Fz=5 000 N， Fy=1 500 N， Fx=750 N，而 刀尖B 的坐标 x = 200 mm，y = 75 mm，z = 0。

15、如果不计刀杆的重量， 试求刀杆根部A 的约束反力的各个 分量。例例 题题 2020x xz zy yA AB BF FAxAxF Fx xMMAxAxF FAyAyF FAzAzMMAyAyMMAzAzF Fy yF Fz z刀杆根部是固定端，约 束反力是任意分布的空 间力系，通常用这个力 系向根部的A点简化的 结果表出。一般情况下 可有作用在A点的三个 正交分力和作用在不同 平面内的三个正交力偶 。解：解：1.取镗刀杆为研究对象, 受力分析如图。3 3. .联立求解。联立求解。x xz zy yA AB BF FAxAxF Fx xMMAxAxF FAyAyF FAzAzMMAyAyMMAzAzF Fy yF Fz z2.列平衡方程。已知： Q=100kN，P=20kN， 等边ABC边长a=5m，HD l=3.5m， = 30,EDAD/3求：各轮的点面反力。又当= 0时， 最 大载重Pmax是多少。例例 题题 2121解: 取起重机为研究对象FAFC FBFA=26.3kNFC=43.4kNFB=50.3kNCABEHDy xPAB,CDQHz30解: 取起重机为研究对象CABEHDxy PAB,CDQHzFAFC FB解得: FA=19.3kN， FB=53.9kN， FC=46.8kN（2）当= 0，由上面第一个方程得：为确保安全，必须：F