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1、医学信号处理第三章第三章 线性时不变系统线性时不变系统 对随机信号的响应对随机信号的响应要解决的问题： 已知输入信号的统计特性，其经过线性移不变系统 后输出的统计特性类型有连续、离散系统，有二端、多端系统，要分 别进行分析。1医学信号处理确定信号通过LTI系统的响应：时域为卷积关系 y(t)=x(t)*h(t) 频域为乘积关系 Fy()=H()Fx() x(t) Fx() y(t) Fy() h(t) H()h(t) H()x(t)Fx()y(t)Fy()2医学信号处理 h(t) H()Rx()Sx()Ry()Sy()Rxy() Sxy() 当输入信号x(t)是随机信号时时，由于随机信号不存在
2、 傅立叶变换变换 ，就不能对时对时 域卷积积做傅立叶变换变换 。所以，研究随机信号通过过LTI系统统的任务就是：研究 输入和输出间的相关函数和功率谱密度函数间的关 系。具体为输出、输入信号之间自相关函数和功率谱的 关系、输入和输出间互相关函数和互谱，并把它们 和冲激响应与频率特性联系起来。h(t) H()x(t)Fx()y(t)Fy()3医学信号处理3.13.1 连续随机信号通过连续随机信号通过LTILTI系统系统3.1.13.1.1 二端二端LTILTI系统系统一、一、 二端二端LTILTI系统系统本章所有结论的适用条件为输入为平稳的，而系本章所有结论的适用条件为输入为平稳的，而系 统为稳定
3、的统为稳定的LTILTI系统。则输出为平稳输出信号。系统。则输出为平稳输出信号。4医学信号处理1、输出均值式中式中HH(0)(0)是是 系统的频率系统的频率 特性在特性在 =0=0 时的值。时的值。输出信号的均值等于输入随机信号均值乘以输出信号的均值等于输入随机信号均值乘以 系统频率特性的直流分量。系统频率特性的直流分量。5医学信号处理2、输入输出互相关函数输入输出互相关函数等于输入随机信号的自相输入输出互相关函数等于输入随机信号的自相 关函数与系统冲激响应的卷积。关函数与系统冲激响应的卷积。63、输出随机信号的自相关函数输出随机信号的自相关函数等于输入输出互相关函数与系统冲激响 应的负卷积，
4、还等于输入随机信号的自相关函数与系统冲激响应的 正负两次卷积。7医学信号处理4、功率谱（1 1） 输入与输出之间的互功率谱，就是互相输入与输出之间的互功率谱，就是互相 关函数的傅立叶变换。关函数的傅立叶变换。根据时域卷积对应 频域乘积（2 2） 输出自功率谱输出自功率谱8医学信号处理h()Rx()Rxy() h(-)Ry()输入自相关函数、输出自相关函数 、输入输出互相关函数三者之间关系9医学信号处理5、对协方差有类似公式10医学信号处理二、二、 两个随机过程的相干函数两个随机过程的相干函数 两个随机过程x(t)和y(t)的相干函数定义一为 ：如果x(t)和y(t)是某一线性系统的输入和输出如
5、果x(t)和y(t)不相关11医学信号处理可见，相干函数是从频域来描述两个随机信号各频率成分之间互相关联的程度。如果输入输出随机信号的相干函数大于0而小于1，则存在两种可能： 1、联系x(t)和y(t)的系统是非线性的； 2、测量值中含有外界噪声，即x(t)和y(t)是信号和噪声的叠加。12医学信号处理两个随机序列x(n)和y(n)的相干函数定义二为 ：用rxy(0)、rxy(m)代入上式得到：13医学信号处理3.1.23.1.2 多端多端LTILTI系统系统生理信号的测量和处理往往要同时记录多通道信号。例如，记录脑电图，商业脑电图机有 128导联，记录心电图常用3导联和12导联。处理这些信号
6、需要考虑各导信号间的相互作用。这就需要研究多输入、多输出情况。先从二输入、二输出开始。14医学信号处理h11，H11x1(t)y11(t) +y1(t)h12，H12h22，H22+x2(t)h21，H21y2(t)y21(t)y12(t)y22(t)15医学信号处理输入信号的功率谱和互谱所组成的22谱阵：输出信号的功率谱和互谱所组成的22谱阵：输入、输出信号之间的互谱所组成的22谱阵：16医学信号处理系统各端口间各频率特性所组成的矩阵：则： （2.1 ）17医学信号处理3.23.2 离散随机信号通过离散随机信号通过LTILTI系统系统LTI系统的冲激响应为h(n)，输入离散随机信号是 一个平
7、稳随机过程的一个取样序列，系统产生的输出信 号y(n)也是一个离散随机信号，它是另一随机过程的一 个取样序列。对于系统来讲，输入、输出信号和系统冲 激响应存在下列关系：下面研究输出随机序列的特征参数，以及输入输出随机序列这 些参数的关系。 18医学信号处理1、输出随机序列均值H(ej0)为系统的频率特 性在=0时的值由于输入随机过程 为平稳随机过程输出随机过程均值是与时间输出随机过程均值是与时间n n无关的一个常量，与输入随机过程均无关的一个常量，与输入随机过程均 值成正比，比例系数是系统频率特性在零频率的取值。值成正比，比例系数是系统频率特性在零频率的取值。 19医学信号处理 2、输出随机过
8、程的自相关序列20医学信号处理从上式看出：输出随机序列的自相关序列只与时间差 m有关，而与时间起点的选择（即n的选取）无关， 故有Ryy(n,n+m)=Ryy(m)，则上式可化简为：令l = r-k，可表示为 （可考虑其他方法推导）21医学信号处理结论：确定信号的输出等于输入信号与系统的单位 冲激响应的卷积；随机信号的输出过程的自相关函数，等于输 入信号的自相关函数与系统的单位冲激响应的自相 关函数的线性卷积；确定性离散时间信号作用于LTI系统与随机性离散时间信号作用于LTI系统非常类似。22医学信号处理3、输出随机过程的功率谱上面式子等号两端进行Z变换，得到：Sxx(z)和Syy(z)分别等
9、于Rxx(m)和Ryy(m)的Z变换23医学信号处理Shh(z)是Rhh(z)的Z变换，得到：24医学信号处理物理意义：一个随机信号通过系统，从频域看其输 出功率谱密度等于输入功率谱密度与系统频率响应 的模平方的乘积。 于是得到：|H(z)|为H(z)的模。 如果系统稳定，那么Syy(z)的收敛域包含单位圆，有25医学信号处理4、输入随机过程和输出随机过程的互相关 函数和互功率谱密度系统的输入信号与输出信号之间的互相关序列，等于输入系统的输入信号与输出信号之间的互相关序列，等于输入 信号自相关序列与系统冲激响应的线性卷积。信号自相关序列与系统冲激响应的线性卷积。26医学信号处理h(m)Rxx(
10、m)Rxy(m) h(-m)Ryy(m)输入自相关函数、输出自相关函数 、输入输出互相关函数三者之间关系27医学信号处理设（自相关函数的z变换存在），转换到z域有，用功率谱表示有28医学信号处理结论：输入一个零均值平稳白噪声，就可以通过计算系统输入输出 之间的互相关序列或互功率谱，来求系统的冲激响应或频率特性。求输入零均值平稳白噪声的求输入零均值平稳白噪声的LTILTI系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应 。29医学信号处理一个平稳稳的随机序列w(n)，如果其功率谱谱在的范围围内始终为终为 一常数，如 ,我们们称该该序列为为白噪声序列 。是在m=0处处的函数。由自相关函数的定义义，它说说明白噪
11、声序列在任意两个不同的时时刻是不相关的，即，对对所有的所以，若w(n)是高斯型的，那么它在任意两个不同时时刻又是相 互独立的 其自相关函数零均值平稳白噪声零均值平稳白噪声30医学信号处理ab1如图为一理想带通滤波器的频率特性H(ej) ，当输入端 作用一个功率谱为Sxx(ej)、均值为0的平稳随机过程， 求输出响应的平均功率。31医学信号处理32医学信号处理上面式子等号右边积分代表输入信号无衰减地通过 带通滤波器的总功率，该总功率除以，代表输入 信号在该频带内的平均功率，式子左边为输出信号 的平均功率。33医学信号处理5、输出随机过程均方值：34医学信号处理例题：有一LTI系统，其系统函数为当
12、输入端作用一个白噪声w(n)时，在其输出端得到一 个随机信号x(n)。设白噪声方差等于1，即 =1，求随 机信号x(n)的自相关序列。35医学信号处理解 ：将上式进行z反变换，得：36医学信号处理作业业：1、令y(t)=x(t-D)+v(t)为为接收信号，式中D表 示信号x(t)的传传播延时时，已知x(t)和v(t)是相 互独立的零均值值的平稳稳随机过过程，且它们们 的自相关函数分别为别为 ：求互相关函数 和互功率谱谱密度37医学信号处理 2、将式（2.1）展开推出的表达式。38医学信号处理时域卷积和1、输入信号xn=sin(0.2n),n0，系统单位脉冲响应hn=sin(0.5n), n0。计算n=0,1,2,40时的相应yn。xn hn39医学信号处理n=0:40;x=sin(.2*n);stem(n,x);h=sin(.5*n);stem(n,h);y=conv(x,h);stem(n,y(1:length(n),filled);Matlab程序：40医学信号处理yn41医学信号处理42医学信号处理 调用程序指令：y=myconvxh( ); /回车43
