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1、1(出 3出 出 )时 时时 时时 时 (km/h)8070605040300.0390.0280.0180.0100.005南京师大附中南京师大附中 2014 届高三模拟考试届高三模拟考试数数 学学 2014.05注意事项：注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：参考公式：锥体的体积公式为 V Sh，其中 S 是锥体的底面面积，h 是高 1 3一填
2、空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1设集合 Ax|1x2，Bx|0x4，xN，则 AB 2若复数 (i 是虚数单位)为纯虚数，则实数 a 1ai2i3某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图根据图形推断，该时段时速超过 50km/h 的汽车辆数为 4如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 NY出 出出 出sn10出 出25一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只黑球，2 只白球， 从中一次随机摸出 2只球，至少有 1 只黑球的概率是 已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面
3、 内的一条直线， 则“”是“m”的 条件 （填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、“充要”或“既不充分也不必要” ） 7函数( )sin3cos ( 0 )f xxx x ，的单调增区间是 8设实数 x，y，b 满足，若 z2xy 的最小值为 3 则实数 b 的值为 2xy 0， y x， y xb) 9设 a，b 均为正实数，则112 abab的最小值是 10设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，+)上单调递增，则满足不等式 f(1)f(lg(2x)的 x 的取值范围是 11在ABC 中，已知BAC90，AB6，若 D 点在斜边 BC 上，CD2DB，则ABAD的值为 12
4、在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 是椭圆1（ab0）上的点，以 M 为圆心x2a2y2 b2的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F，圆 M 与 y 轴相交于 P，Q 两点若PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 13对于定义域内的任意实数x，函数f(x)的值恒为正数，则实数ax2 + (a1)x2a+ 22x2 +ax2a的取值范围是 14记数列an的前 n 项和为 Sn，若不等式 a ma 对任意等差数列an及任意正整2n21数 n 都成立，则实数 m 的最大值为 二解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤15 （本小
5、题满分 14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cosC cosA（1）求角A的值； 3（2）若角6B，BC边上的中线AM=7，求ABC的面积16 （本小题满分 14 分）在四棱锥 PABCD 中，ACD90，BACCAD，PA平面 ABCD，E 为 PD的中点 （1）求证：平面 PAC平面 PCD；（2）求证：CE平面 PAB17 （本小题满分 14 分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为 10cm 的圆形包装纸包装要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示设正三棱锥的底面
6、边长为 xcm，体积为 Vcm3在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时 x 的值18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆1（ab0）的离心率为，两个顶x2a2y2 b2点分别为 A1(2，0)，A2(2，0)过点 D(1，0)的直线交椭圆于 M，N 两点，直线 A1M与 NA2的交点为 G高 考 资 源 网（1）求实数 a，b 的值； （2）当直线 MN 的斜率为 1 时，若椭圆上恰有两个点 P1，P2使得P1MN 和P2MN 的面积为 S，求 S 的取值范围；（3）求证：点 G 在一条定直线上 (第 17 题图)图EABCDP(第
7、 16 题图)图(第 18 题图)xyGA1NDA2M4DC BA(第 21A 题图)19 （本小题满分 16 分）已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且满足 a1a2a39，b1b2b327.（1）若 a4b3，b4b3m.当 m18 时，求数列an和bn的通项公式；若数列bn是唯一的，求 m 的值；（2）若 a1b1，a2b2，a3b3均为正整数，且成等比数列，求数列an的公差 d 的最大值.20 （本小题满分 16 分）设 a 是实数，函数 f(x)ax2(a1)x2lnx（1）当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间；（2）当 a2 时，过原点 O 作曲线 yf(x)的切线，求切点
8、的横坐标；（3）设定义在 D 上的函数 yg(x)在点 P(x0，y0)处的切线方程为 l：yh(x)，当 xx0 时，若0 在 D 内恒成立，则称点 P 为函数 yg(x)的“巧点”当 a 时，g(x)h(x)xx014试问函数 yf(x)是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说 明理由数 学（附加题） 21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题 纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A （几何证明选讲选做题）如图，设AB、CD是圆O的两条弦，直线AB是线段CD的垂直平分线已知6,2 5A
9、BCD，求线段AC的长度B （矩阵与变换选做题）5设矩阵 Aabcd，矩阵 A 属于特征值11 的一个特征向量为111 ，属于特征值 24的一个特征向量为232 ，求 adbc 的值C （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点 A，B 分别在曲线 C1：（ 为参数）和曲线 C2：1 上，求线段 AB 的最小x3cosy4sin)值D （不等式选做题） 设 a，b，c 均为正数， abc1求证： .1a1b1c a b c22 【必做题】 在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1，2，3，4，现从这个盒 子中有放
10、回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为 x，y，记 |xy| （1）求 P(1)； （2）求随机变量 的分布列和数学期望23 【必做题】有三种卡片分别写有数字 1，10 和 100设 m 为正整数，从上述三种卡片中选取若干 张，使得这些卡片上的数字之和为 m考虑不同的选法种数，例如当 m11 时，有如下两 种选法：“一张卡片写有 1，另一张卡片写有 10”或“11 张写有 1 的卡片” ，则选法 种数为 2 （1）若 m100，直接写出选法种数； （2）设 n 为正整数，记所选卡片的数字和为 100n 的选法种数为 an当 n2 时，求数列an的通项公式6南京师大附中 2014 届高三模拟考试
11、数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分11； 22； 377； 45； 5 ； 6必要9 10不充分； 7 ,0； 8； 94； 10(0，)(5，+)； 69 41201124； 12 （0，） ； 137a0 或 a2； 14 15二、解答题：二、解答题：15解析:（1）因为(23 )cos3 cosbcAaC，由正弦定理得(2sin3sin)cos3sincosBCAAC， 2 分即2sincos3sincos3sincosBAACCA=sin(A+C) 4 分 3因为 BAC，所以 sinB=sin(
12、A+C)，所以2sincos3sinBAB因为 B(0，)，所以 sinB0，所以3cos2A ，因为0A，所以6A 7 分（2）由（1）知 6AB，所以ACBC，2 3C 8 分7设ACx，则1 2MCx，又 7.AM 在AMC 中，由余弦定理得2222cos,ACMCAC MCCAM即222( )2cos120( 7) ,22xxxxo解得 x2. 12 分故212sin3.23ABCSx 14 分16解析: （1）因为 PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PACD， 2 分又ACD90，则CDAC，而 PAACA，所以 CD平面 PAC，因为 CD平面 ACD， 4 分所以，平
13、面 PAC平面 PCD 7 分（2）证法一：取 AD 中点 M，连 EM，CM，则 EMPA 因为 EM 平面 PAB，PA平面 PAB，所以 EM平面 PAB 9 分 在 RtACD 中，AM=CM，所以CAD=ACM，又BACCAD，所以BACACM，则 MCAB因为 MC 平面 PAB，AB平面 PAB，所以 MC平面 PAB 12 分 而 EMMCM，所以平面 EMC平面 PAB由于 EC平面 EMC，从而 EC平面 PAB 14 分 证法二：延长 DC，AB 交于点 N，连 PN因为NACDAC，ACCD，所以 C 为 ND 的中点 而 E 为 PD 中点，所以 ECPN 因为 EC 平面 PAB，PN 平面 PAB，所以 EC平面 PAB 14 17解析:正三棱锥展开如图所示当按照底边包装时体积最大设正三棱锥侧面的高为 h ，高为 h 0由题意得：xh 10，解得 h 10x 2 00DDOCABDMEABCDPNEABCDP8则 h ，x(0,10) 5 分3所以，正三棱锥体积 V Sh x21313
