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1、1广东省揭阳市 2014 届高三 4 月第二次模拟数学(文科)本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 参考公式：棱锥的体积公式：1 3VSh 其中 S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高一、选择题：1.已知（1i） （1mi）是实数(i是虚数单位） ，则实数m的值为（ ）A.1B.1 C. 1 D. 02、某校有男、女生各 500 名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差 异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 （ ） A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法3设全集RU ，2 |lg(1)Ax yx，则ACR
2、（ ）A(,1B(, 1) (1,)C 1,1 D(1,)4、下列函数中，既是偶函数又在区间（0，）上存在零点的是（ ）A、1yxB、xyeC、lg|yxD、21yx 5已知等差数列 na中,26a ,前 7 项和784S ,则6a等于（ ）A.18 B. 20 C.24 D. 326已知命题p：函数sin4yx是最小正周期为2的周期函数，命题q：函数tanyx在,2（） 上单调递减，则下列命题为真命题的是（ ）A.pqB.()pqC.()()pq D. ()()pq 7、在平面直角坐标系中，O（0,0） ，P（6,8） ，将向量OPuuu r 按逆时针旋转2后，得向量OQuuu r，则点 Q
3、 的坐标是（ ）A、 （8，6） B、 （6,8） C、 （6,8） D、 （8，6）8运行如图 1 的程序框图，则输出 s 的结果是（ ）2A. 1 6 B.25 24 C.3 4 D.11 12 9、已知一棱锥的三视图如图 2 所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为 直角梯形，则该棱锥的体积为（ ）A、8 B、16 C、32 D、4810若曲线 yx2 上存在点（x，y）满足约束条件20, 220,xy xy xm ，则实数 m 的取值范围是（ ）A. 2,1B. 1,)C. (0,)D. (,1)二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30
4、 分 （一）必做题（1113 题）11若1sincos3 ，则sin2 12过点(2，1)作圆22(1)(2)4xy的弦，其中最短的弦长为 13、某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据：x681012y2356根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa中的b 的值为0.7，则记忆力为 14 的同学的判断力约为（附：线性回归方程ybxa中，aybx ，其中x，y为样本平均值)（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，过点4,2A引圆4sin的一条切3图 3线，则切线长为 15 （
5、几何证明选讲选做题）如图（3） ，PA是圆 O 的切线，切点为A，PO交圆O于 ,B C两点，且2,1,PAPB则AB的长为 .三解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分）在ABC中，已知113cos,cos(),714AAB 且BA（1）求角 B 和sinC的值； （2）若ABC的边5AB ，求边 AC 的长17. （本小题满分 12 分） 下表是某市从 3 月份中随机抽取的 10 天空气质量指数（AQI）和“PM2.5”（直径小于等于 2.5 微米的颗粒物）24 小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI）小于 100 表
6、示空气质量 优良日期编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10空气质量指数（AQI）1794098124291332414249589“PM2.5”24 小时平均浓度（3/ug m）13558094801001903877066（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率； （2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一 步的分析，设事件 M 为“抽取的两个日期中，当天PM2.5的 24 小时平均浓度不超过753/ug m” ，求事件 M 发生的概率；18 （本小题满分 14 分） 如图 4，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂直，且A
7、CB90，BAC30，BC1，AA16，点 P、M、N 分别为 BC1、CC1、AB1的中点 （1）求证：PN/平面 ABC；4（2）求证：A1M AB1C1； （3）求点 M 到平面 AA1B1 的距离 图 419 （本小题满分 14 分） 已知抛物线的方程为21yax，直线l的方程为2xy ，点 A3, 1关于直线l的对称点在抛物线上 （1）求抛物线的方程；（2）已知1,12P，求过点 P 及抛物线与 x 轴两个交点的圆的方程；（3）已知点15(0)16F， 是抛物线的焦点，1,12P，M 是抛物线上的动点，求|MPMF的最小值及此时点 M 的坐标；20 （本小题满分 14 分） 已知函数
8、 f（x）axlnx（a0）（1）若当1, xe时，函数 f（x）的最大值为3，求 a 的值；（2）设( )( )( )( )g xf xfxfxf x为函数（）的导函数），若函数 g（x）在（0，）上是单调函数，求 a 的取值范围。21 （本小题满分 14 分）已知等比数列 na满足：24,a 公比2q ，数列 nb的前n项和为nS，且422 333nnnSba （nN）.（1）求数列 na和数列 nb的通项na和nb；（2）设()n n naPnNS ，证明：13 2ni iP .5数学(文科)参考答案及评分说明一、选择题：BDCCA DABBD 解析：9.该几何体是底面为直角梯形的四棱锥
9、，依题意得11(42) 4 41632V .10.结合图形易得 m 的取值范围为 m1，故选 D.61x- 2y- 2=0x+y- 2=0y=x2yxo二、填空题： 118 9，122 2，137.5，1424，15. 3 5 5. 解析： 14.把 A 点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得0,4A，圆224xyy，A 点到圆心的距离为 6，半径为 2，所以切线长为22624 215.由,PBAPAC:可得: ,PBPABA PAPCAC 由已知2,1,PAPB,可解得4PC ,所以圆直径为 3,又由221,92BABAACAC 可解得3 5 5AB 三.解答题：16.解（1）由1cos7A
10、0，13cos()14AB0,得02A 且02AB -1分可得sin A 21 cos A214 31 ( ),77-2 分sin()AB21 cos ()AB2133 31 (),1414-3 分coscos()coscos()sinsin()BAABAABAAB1 134 3 3 31 7 147142-5 分0B.3B-6 分在ABC 中，()CABsinC sin()sin()ABAB7sincoscossinABAB-7 分4 31135 3.727214-9 分（2）在ABC 中，由正弦定理得：sinsinABAC CB ，-10 分35sin27sin5 3 14ABBACC-1
11、2 分17解：（1）由上表数据知，10 天中空气质量指数（AQI）小于 100 的日期编号为： A2 、A3 、A5 、A9 、A10 共 5 天，-2 分故可估计该市当月某日空气质量优良的概率51 102P -4 分(2)在表示空气质量为优良的日期 A2、A3、A5、A9、A10 中随机抽取两个的所有可能的情况 为： A2，A3， A2，A5， A2，A9， A2，A10， A3，A5， A3，A9， A3，A10， A5，A9， A5，A10， A9，A10，共 10 种；-8 分两个日期当天“PM2.5”24 小时平均浓度小于 753/ug m的有： A2，A9， A2，A10， A9，
12、A10，共 3 种；-10 分故事件 M 发生的概率3()10P M -12 分18. （1）证明：连结 CB1，P 是 BC1 的中点 ，CB1 过点 P，-1 分 N 为 AB1 的中点，PN/AC,-2 分AC 面ABC，PN 面ABC,PN/平面 ABC. -4 分 （2）证法一：连结 AC1，在直角 ABC 中，BC1，BAC30， ACA1C13-5 分111CC AC111AC MC =2，111Rt AC MRt C CA:-7 分111AMCCAC ，1111190AC CCACAC CAMC o8AC1A1M. -8 分B1C1C1A1，CC1B1C1，且1111C ACCCB1C1平面 AA1CC1， -9 分B1C1A1M，又1111ACBCC，故 A1M平面 A B1C1，-11 分【证法二：连结 AC1，在直角 ABC 中，BC1，BAC30， ACA1C13-5 分设AC1A1，MA1C111111162tantan=123AAMC ACAC ,-7 分+90 即 AC1A1M. -
