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1、1广东省揭阳市 2014 届高三 4 月第二次模拟数学(文科)本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分考试用时 120 分钟 参考公式:棱锥的体积公式:1 3VSh 其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高一、选择题:1.已知(1i) (1mi)是实数(i是虚数单位) ,则实数m的值为( )A.1B.1 C. 1 D. 02、某校有男、女生各 500 名,为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差 异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 ( ) A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法3设全集RU ,2 |lg(1)Ax yx,则ACR
2、( )A(,1B(, 1) (1,)C 1,1 D(1,)4、下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)上存在零点的是( )A、1yxB、xyeC、lg|yxD、21yx 5已知等差数列 na中,26a ,前 7 项和784S ,则6a等于( )A.18 B. 20 C.24 D. 326已知命题p:函数sin4yx是最小正周期为2的周期函数,命题q:函数tanyx在,2() 上单调递减,则下列命题为真命题的是( )A.pqB.()pqC.()()pq D. ()()pq 7、在平面直角坐标系中,O(0,0) ,P(6,8) ,将向量OPuuu r 按逆时针旋转2后,得向量OQuuu r,则点 Q
3、 的坐标是( )A、 (8,6) B、 (6,8) C、 (6,8) D、 (8,6)8运行如图 1 的程序框图,则输出 s 的结果是( )2A. 1 6 B.25 24 C.3 4 D.11 12 9、已知一棱锥的三视图如图 2 所示,其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,正视图为 直角梯形,则该棱锥的体积为( )A、8 B、16 C、32 D、4810若曲线 yx2 上存在点(x,y)满足约束条件20, 220,xy xy xm ,则实数 m 的取值范围是( )A. 2,1B. 1,)C. (0,)D. (,1)二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30
4、 分 (一)必做题(1113 题)11若1sincos3 ,则sin2 12过点(2,1)作圆22(1)(2)4xy的弦,其中最短的弦长为 13、某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据:x681012y2356根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa中的b 的值为0.7,则记忆力为 14 的同学的判断力约为(附:线性回归方程ybxa中,aybx ,其中x,y为样本平均值)(二)选做题(1415 题,考生只能从中选做一题)14(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点4,2A引圆4sin的一条切3图 3线,则切线长为 15 (
5、几何证明选讲选做题)如图(3) ,PA是圆 O 的切线,切点为A,PO交圆O于 ,B C两点,且2,1,PAPB则AB的长为 .三解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 (本小题满分 12 分)在ABC中,已知113cos,cos(),714AAB 且BA(1)求角 B 和sinC的值; (2)若ABC的边5AB ,求边 AC 的长17. (本小题满分 12 分) 下表是某市从 3 月份中随机抽取的 10 天空气质量指数(AQI)和“PM2.5”(直径小于等于 2.5 微米的颗粒物)24 小时平均浓度的数据,空气质量指数(AQI)小于 100 表
6、示空气质量 优良日期编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10空气质量指数(AQI)1794098124291332414249589“PM2.5”24 小时平均浓度(3/ug m)13558094801001903877066(1)根据上表数据,估计该市当月某日空气质量优良的概率; (2)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取两个对其当天的数据作进一 步的分析,设事件 M 为“抽取的两个日期中,当天PM2.5的 24 小时平均浓度不超过753/ug m” ,求事件 M 发生的概率;18 (本小题满分 14 分) 如图 4,已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂直,且A
7、CB90,BAC30,BC1,AA16,点 P、M、N 分别为 BC1、CC1、AB1的中点 (1)求证:PN/平面 ABC;4(2)求证:A1M AB1C1; (3)求点 M 到平面 AA1B1 的距离 图 419 (本小题满分 14 分) 已知抛物线的方程为21yax,直线l的方程为2xy ,点 A3, 1关于直线l的对称点在抛物线上 (1)求抛物线的方程;(2)已知1,12P,求过点 P 及抛物线与 x 轴两个交点的圆的方程;(3)已知点15(0)16F, 是抛物线的焦点,1,12P,M 是抛物线上的动点,求|MPMF的最小值及此时点 M 的坐标;20 (本小题满分 14 分) 已知函数
8、 f(x)axlnx(a0)(1)若当1, xe时,函数 f(x)的最大值为3,求 a 的值;(2)设( )( )( )( )g xf xfxfxf x为函数()的导函数),若函数 g(x)在(0,)上是单调函数,求 a 的取值范围。21 (本小题满分 14 分)已知等比数列 na满足:24,a 公比2q ,数列 nb的前n项和为nS,且422 333nnnSba (nN).(1)求数列 na和数列 nb的通项na和nb;(2)设()n n naPnNS ,证明:13 2ni iP .5数学(文科)参考答案及评分说明一、选择题:BDCCA DABBD 解析:9.该几何体是底面为直角梯形的四棱锥
9、,依题意得11(42) 4 41632V .10.结合图形易得 m 的取值范围为 m1,故选 D.61x- 2y- 2=0x+y- 2=0y=x2yxo二、填空题: 118 9,122 2,137.5,1424,15. 3 5 5. 解析: 14.把 A 点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得0,4A,圆224xyy,A 点到圆心的距离为 6,半径为 2,所以切线长为22624 215.由,PBAPAC:可得: ,PBPABA PAPCAC 由已知2,1,PAPB,可解得4PC ,所以圆直径为 3,又由221,92BABAACAC 可解得3 5 5AB 三.解答题:16.解(1)由1cos7A
10、0,13cos()14AB0,得02A 且02AB -1分可得sin A 21 cos A214 31 ( ),77-2 分sin()AB21 cos ()AB2133 31 (),1414-3 分coscos()coscos()sinsin()BAABAABAAB1 134 3 3 31 7 147142-5 分0B.3B-6 分在ABC 中,()CABsinC sin()sin()ABAB7sincoscossinABAB-7 分4 31135 3.727214-9 分(2)在ABC 中,由正弦定理得:sinsinABAC CB ,-10 分35sin27sin5 3 14ABBACC-1
11、2 分17解:(1)由上表数据知,10 天中空气质量指数(AQI)小于 100 的日期编号为: A2 、A3 、A5 、A9 、A10 共 5 天,-2 分故可估计该市当月某日空气质量优良的概率51 102P -4 分(2)在表示空气质量为优良的日期 A2、A3、A5、A9、A10 中随机抽取两个的所有可能的情况 为: A2,A3, A2,A5, A2,A9, A2,A10, A3,A5, A3,A9, A3,A10, A5,A9, A5,A10, A9,A10,共 10 种;-8 分两个日期当天“PM2.5”24 小时平均浓度小于 753/ug m的有: A2,A9, A2,A10, A9,
12、A10,共 3 种;-10 分故事件 M 发生的概率3()10P M -12 分18. (1)证明:连结 CB1,P 是 BC1 的中点 ,CB1 过点 P,-1 分 N 为 AB1 的中点,PN/AC,-2 分AC 面ABC,PN 面ABC,PN/平面 ABC. -4 分 (2)证法一:连结 AC1,在直角 ABC 中,BC1,BAC30, ACA1C13-5 分111CC AC111AC MC =2,111Rt AC MRt C CA:-7 分111AMCCAC ,1111190AC CCACAC CAMC o8AC1A1M. -8 分B1C1C1A1,CC1B1C1,且1111C ACCCB1C1平面 AA1CC1, -9 分B1C1A1M,又1111ACBCC,故 A1M平面 A B1C1,-11 分【证法二:连结 AC1,在直角 ABC 中,BC1,BAC30, ACA1C13-5 分设AC1A1,MA1C111111162tantan=123AAMC ACAC ,-7 分+90 即 AC1A1M. -