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1、1东莞市 2014 届高三理科数学模拟试题(二)命题：胡佐华 审稿与校对：李名泰一、选择题：一、选择题：1. 已知全集U R,集合09,AxxxR和44,Bxxx Z集合UAB（）中的元素共有( )A3个 B4个 C5个 D无穷多个2. 若复数2321 iaaa是纯虚数,则实数a的值为( )A2 B1 C2 D1或23. 已知等差数列 na的前n项和为nS,且24S ,420S ,则该数列的公差d ( )A2 B3 C6 D74. 已知抛物线22ypx(0p )的准线与圆22(3)16xy相切,则p的值为( )A1 2B1 C2 D45. 若向量(cos ,sin )a ，( 3, 1)b ，
2、则2ab 的最大值为（ ）A4 B2 2 C2 D 26. 已知平面、和直线m,给出条件:/m；m；m；/.由这五个条件中的两个同时成立能推导出/m的是( )A B C D7. 若变量, x y满足约束条件0 21 43y xy xy ,则35zxy的取值范围是( )A,9 B3, C8,9 D8,38. 对任意实数, x y,定义运算xyaxbycxy,其中, ,a b c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123,234,并且有一个非零常数m,使得x R,都有xmx,则34的值是( )A. 4 B. 4 C. 3 D. 3二、填空题：(一)必做题(913 题)2231正视图侧
3、视图图图 1是否1 , 2Sk开始结束8k输出S) 1(logkSSk1 kk图 29. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图3所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的俯视图的面积为 .10. 二项式532xx的展开式中常数项为_.11. 执行如图 2 的程序框图，输出的S 12. 已知函数 cos ,01,0x xf xx,则 2 2df xx的值等于 .13. 已知ABC的内角A B C,的对边分别为a b c, ,，且26120cbB,则ABC的面积等于_.（二）选做题（14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线
4、1的方程是2sin42，以极点为原点，以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线2的方程是31xky.如果直线1与2垂直，则常数k 3图图 3图图 4PABCDEF15.(几何证明选讲选做题)如图 3,在ABC中,/DEBC,/EFCD,若3BC ,2DE ,1DF ,则AB的长为_ 三、解答题：16(本题满分 12 分)设函数2sinsin)(xxxf,Rx(1) 若21，,求)(xf的最大值及相应的x的取值集合；（2）若8x是)(xf的一个零点,且100,求的值和)(xf的最小正周期.17(本题满分 12 分) 某地为绿化环境，移栽了银杏树 2 棵，梧桐树 3 棵.它们移
5、栽后的成活率分别为2 1,3 2，每棵树是否存活互不影响，在移栽的 5 棵树中：（1）求银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵的概率；（2）求成活的棵树 的分布列与期望.18.(本题满分 14 分)如图 4,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD底面ABCD,且2 2PAPDAD,E、F分别为PC、BD的中点.(1) 求证:/EF平面PAD； (2) 求证:面PAB平面PDC； (3) 在线段AB上是否存在点G,使得二面角CPDG的余弦值为1 3?说明理由.19.(本题满分 14 分)设数 na满足：123()nnaaaana nN4(1)求证：数列1na 是等比数列；(2
6、)若(2)(1)nnbn a，且对任意的正整数 n，都有21 4nbtt，求实数 t 的取值范围20.(本题满分 14 分)已知定点11,0F ,21,0F,动点,P x y,且满足1122,PFF FPF成等差数列.(1) 求点P的轨迹1C的方程；(2) 若曲线2C的方程为22222xtytt(202t ),过点0 , 2A的直线l与曲线2C相切,求直线l被曲线1C截得的线段长的最小值.21.(本题满分 14 分) 已知函数)(xf满足如下条件：当 1, 1(x时，) 1ln()(xxf，且对任意Rx，都有1)(2)2(xfxf（1）求函数)(xf的图象在点)0(,0(f处的切线方程；（2）
7、求当 12,12(kkx，*Nk时，函数)(xf的解析式；（3）是否存在 12,12(kkxk，2011210，k，使得等式201724019)(2201220110 kk kkxfx成立？若存在就求出kx（2011210，k） ，若不存在，说明理由东莞市 2014 届高三理科数学模拟试题(二)5参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号12345678答案BABCADCD二、填空题：本题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分91； 1040； 113； 123； 13.3 2； 143； 15.9 2三、解答题:本大题共 6 小题,满分 8
8、0 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 【解析】(1)xxxxxfcossin2sinsin)( 当21，时, 42sin22cos2sin)(xxxxf，而142sin1x,所以)(xf的最大值为2, 此时kx2242,k Z,即kx423,Zk,)(xf取最大值2时相应的x的集合为,423|Zkkxx （2）依题意048sin8 f,即k48,Zk, 整理,得28 k, 又100,所以10280 k,141k, 而Zk,所以0k,2,所以42sin2)(xxf,)(xf的最小正周期为.17.【解析】 （1）设A表示“银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵”设(0,1,2)iA i
9、表示“银杏树成活i棵”；01()9P A ；14()9P A ；24()9P A (0,1,2,3)kB k 表示“梧桐树成活k棵”；01()8P B ；13()8P B ；23()8P B ；31()8P B 2231( )()()=186P AP AP B （2） 可能的取值：0,1,2,3,4,5 001(0)() ()72PP A P B 601107(1)() ()() ()72PP A P BP A P B ；02112019(2)() ()() ()() ()72PP A P BP A P BP A P B ；同理：25(3)72P ；2(4)9P ；1(5)18P ； 的分布列
10、为： 012345P1 727 7219 7225 722 91 1817 6E 18.【解析】(1)证明:连结AC，由正方形性质可知, AC与BD相交于BD的中点F,F也为AC中点,E为PC中点.所以在CPA中,EF/PA 又PA平面PAD,EF 平面PAD, 所以/EF平面PAD (2)证明:因为平面PAD平面ABCD, 平面PAD面ABCDAD ABCD为正方形,CDAD,CD 平面ABCD,所以CD 平面PAD. 又PA平面PAD,所以CDPA.又2 2PAPDAD,所以PAD是等腰直角三角形,且2APD,即PAPD. 又CDPDD,且CD、PD面PDC,所以PA面PDC. 又PA面P
11、AB, 所以面PAB 面PDC(3) 取AD的中点O,连结OP,OF,因为PAPD,所以POAD. 又侧面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCDAD, 所以PO 平面ABCD,而,O F分别为,AD BD的中点,所以/OFAB,又ABCD是正方形,故OFAD,以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz, 则有(1,0,0)A,1,2,0C ,(0,1,0)F,( 1,0,0)D ,(0,0,1)P,若在AB上存在点,G使得二面角CPDG的余弦值为1 3,连结,PG DG,设(1, ,0)(02)Gaa,7则(1,0,1),( 2,0)DPGDa ,由()知平面PDC的法向量为(1,0, 1)P
12、A , 设平面PGD的法向量为( , , )nx y z .则00n DPn GD ,即0 20xz xay ,解得22azyaxy 令2y ,得, 2,naa ,所以 221cos,3242n PAan PA n PAa ,解得1 2a (舍去1 2). 所以,线段AB上存在点11, ,02G (1 4AGAB),使得二面角CPDG的余弦值为1 3.19.【解析】20.【解析】(1)由11,0F ,21,0F,421 PFPF12FF 根据椭圆定义知P的轨迹为以21,FF为焦点的椭圆,其长轴42 a,焦距22 c,短半轴322cab,故1C的方程为13422 yx. (2)过点0 , 2A与 X 轴垂直的直线不与圆2C相切，故可设l:2yk x,由直线l与8曲线2C相切得2 122 tt ktk,化简得 220, 12，t kkt由 22021kt k ,解得201k 联立134222yxxky ,消去y整理得0121616342222kxkxk, 直线l被曲线1C截得的线段一端点为0 , 2A,设另一端点为B,解方程可得2222 4312,4343kkBkk,有22222222 43121212434343kkkABkkk令nk12,则21212,(1, 21414nABnnnn,考查函数nny14 的性质知nny14 在区间(1, 2上是增函数,所以2n 时,n
