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1、1广东省东莞市实验中学 2015 届高三模拟考试试题(三)(理)参考公式:参考公式:S表示底面积,h表示底面的高,柱体体积 ShV , ,锥体体积 ShV31一、一、选择题:共选择题:共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求学求学1设全集6|xNxU,集合 3 , 1A,5 , 3 , 1B,则)(BACUU等于A. 4 , 1 B. 5 , 1 C. 5 , 2 D. 4 , 22复数5i (2i)(2i)z(i是虚数单位)的共轭复数为A.5i3 B.5i3C.i D.i3若函数 3,5,2 ,5xx
2、f xf xx则 2f的值为A.2 B. 3 C.4 D.54已知等差数列 na中,前 10 项的和等于前 5 项的和.若06 aam则m( )A.10 B.9 C.8 D.2 5某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的x的 值是A.2 B.9 2C.3 2D.36已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组12 2 2x y xy 给定目标函数25zxy的最大值为( )A1 B0 C1 D57已知,m n为两条不同的直线,, 为两个不同的平面,给出下列 4 个命题:若,/ / ,/ /mnmn则 若,/ / ,mnmn则若,/ /mm则 若/ / ,/ / ,/ /m
3、nmn则其中真命题的序号为( )2DCBAA B C D 8.若曲线C在顶点O的角的内部,A、B分别是曲线C上相异的任意两点,且 AOB ,我们把满足条件的最小角叫做曲线C相对点O的“确界角” 。已知O为坐标原点,曲线C的方程为22121xy x (0) (0)x x ,那么它相对点O的“确界角”等于( )A.3B.5 12C.7 12D.2 3二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 7 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 30 分其中分其中 1415 题是选做题,考生题是选做题,考生只能选做一题,二题全答的,只计算前一题得分只能选做一题,二题全答的,只计算前一题得分9已知,(0
4、,)x y,312( )2xy,则14 xy的最小值为 ;10二项式261()xx的展开式中含3x的项的系数是_ (用数字作答)11如图,已知ABC中,4ABAC,90BACo,D是BC的中点,若向量 1 4AMABm ACuuuu ruuu ruuu r ,且AMuuuu r 的终点M在ACD的内部(不含边界) ,则AM BMuuuu r uuu u r 的取值范围是 12过点(1,1)M作斜率为1 2的直线与椭圆C:22221(0)xyabab相交于A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为 13对任意实数a、b,若a b的运算原理如下图所示,1x是函数11yx的零点,1y是二次函数
5、223yxx在0,3上的最大值,则11xy 。14.(坐标系和参数方程选做题) 已知两曲线参数方程分别为3cos(0)sinx y和23 ()2xttR yt ,它们的交点坐标为_315.(几何证明选讲选做题) 如图所示,AB 与 CD 是O 的直径, ABCD,P 是 AB 延长线上一点,连 PC 交O 于点 E,连 DE 交 AB 于点 F,若 AB=2BP=4,则 PF= 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16 (本题满分 12 分)已知函数( )2 3sincoscos2 ,Rf xxxx x(1)求函数( )f x的单调递增区间;
6、(2)在ABC中,内角ABC、所对边的长分别是abc、,若( )2,C,24f Ac,求ABC的面积ABCS的值17 (本小题满分 12 分)某校 1 位老师和 6 名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习,每个城市随机安排 2 名学生,教师可任意选择一个城市 “学生 a 与老师去同一城市”记为事件 A, “学生 a 和 b 去同一城市”为事件 B.(1)求事件BA、的概率)(AP和)(BP;(2)记在一次安排中,事件BA、发生的总次数为,求随机变量的数学期望.E18 (本小题满分 14 分)四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且1 2PAABADCD,/ABCD, 90ADC. (1) 在侧
7、棱PC上是否存在一点Q,使/BQ平面PAD?证明你的结论; (2) 求证:平面PBC 平面PCD; (3) 求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.APBCDQ419 (本小题满分 14 分)已知数列 na中1112,2n naaa,数列 nb中1 1n nba,其中 Nn (1)求证:数列 nb是等差数列(2)设nS是数列1 3nb的前 n 项和,求12111.nSSS(3)设nT是数列1( )3n nb的前 n 项和,求证:3 4nT 20 (本小题满分 14 分)已知椭圆C过点3(1,)2A,两焦点为1(3,0)F 、2( 3,0)F,O是坐标原点,不经过原点的直线lykxm:与椭
8、圆交于两不同点P、Q(1)求椭圆 C 的方程; (2)当1k 时,求OPQ面积的最大值;(3)若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列,求直线l的斜率k21 (本小题满分 14 分)已知函数)(ln1)(Raxxaxf(1)当2a时,比较)(xf与 1 的大小;(2)当29a时,如果函数kxfxg)()(仅有一个零点,求实数k的取值范围;(3)求证:对于一切正整数n,都有121 71 51 31) 1ln(nnL5参考答案参考答案1 1选择题:每小题 5 分,共 40 分. .序号12345678答案DCBAD A B B 二. 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. .
9、9.3 10. 20 11. 6 , 2 12. 2 2;13. 7 14. )36, 1 ( 15. 3 三. 解答题:来源:16.解:(1)( )2 3sincoscos2Rf xxxxx,( )2sin(2)6f xx. .3 分 由222,262kxkkZ,解得,63kxkkZ. 函数( )f x的单调递增区间是,63kkkZ. .6 分(2)在ABC中,( )2,24f ACc,2sin(2)2,6A解得,3AkkZ. .7 分又0A,3A. 8 分依据正弦定理,有,6 sinsin34aca解得.65 12BAC. .10 分116233sin262242ABCSacB . 12
10、分17. .解:(1)31)(AP, 513)(2 22 42 62 22 4CCCCCBP5 分(2)的可能取值为 0,1,2.7 分baPP,()2(与老师去同一城市) 151 31 51.9 分baPP,() 1(同城,但 a 与老师不同)baP,(不同,a 与老师同)52 156 51 32 54 31.10 分baPP、()0(不同,a 与老师也不同)158 54 32 11 分所以.158 15805211512E.12 分18. (1) 解:解:当Q为侧棱PC中点时,有/BQ平面PAD.证明如下:如图,取PD的中点E,连AE、EQ. QQ为PC中点,则EQ为PCD的中位线,/EQ
11、CD且1 2EQCD. /ABCDQ且1 2ABCD,/EQAB且EQAB,四边形ABQE为平行四边形,则/BQAE. BQ 平面PAD,AE 平面PAD,/BQ平面PAD. 4 分(2) 证:证:PA底面ABCD,PACD. ADCD,PAADAI,CD 平面PAD.AE 平面PAD,CDAE. PAAD,E为PD中点,AEPD. CDPDDI,AE 平面PCD. /BQAE,BQ 平面PCD. 7BQ 平面PBC,平面PBC 平面PCD. 9 分(3) 解法一:解法一:设平面PADI平面PBCl./BQ平面PAD,BQ 平面PBC,/BQl.BQ 平面PCD,l 平面PCD,,lPD lP
12、C. 故DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角. 12 分 CD 平面PAD,CDPD. 设1 2PAABADCDa,则222PDPAADa, 226PCCDPDa,故3cos3PDDPCPC. 平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为3 3. 14 分解法二:解法二:如图建立直角坐标系,设1,2PAABADCD,则(0,0,0)A,(0,1,0),( 1,2,0), (0,0,1)BCP,则(0,1, 1)PB uu u r ,( 1,1,0)BC uuu r .设平面PBC的法向量为( , , )nx y zr ,则由00n PBn BCr uu u rgr uuu rg
13、00yzxyzxy ,取(1,1,1)n r . 11 分由CD 平面PAD,/ABCD,知AB 平面PAD,平面PAD的法向量为(0,1,0)AB uuu r . 12 分设所求锐二面角的大小为,则13cos313AB nABnuuu r rg uuu rr. 所求锐二面角的的余弦值为3 3. 14 分19. 解:(1) 1 111 1111n n nnnabaa a , 而 1 1n nba, 11111n nn nnabbaa*Nn nb是首项为1 1111ba,公差为 1 的等差数列 4 分(2)由(1)可知nbn, 111(1).(12)3336nnn nbnSnL, 6 分于是16 (1)nSn n=116(),1nn7 分8故有12111nSSS