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1、1山东省烟台市高三统一质量检测考试数学(理科)试卷第卷(共 50 分)一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设 i 是虚数单位,复数10 3i的虚部为( )A-i B-l Ci D12.已知集合 M=|ln(1)x yx,集合 N=|,xy yexR,(e 为自然对数的底数) 则MN=( )A|1x x B|1x x C|01xx D【答案】C【解析】试题分析: 由已知, |10 |1Mxxx x, |0Ny y, 所以, |01MNxx,选C.考点:集合的运算,函数的定义域、值域.3.一个空间几何体的三视图
2、如下左图所示,则该几何体的表面积为( )A48 B48+817 C32+817 D8024.某程序的框图如上右图所示,执行该程序,若输入的p为 l6,则输出的n的值为( )A3 B4 C5 D635.以q为公比的等比数列na中,10a ,则“13aa”是“1q ”的( )A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6.已知不重合的直线m、l和平面、,且m,l给出下列命题:若/ /,则ml;若,则/ /ml;若ml,则/ /;若/ /ml,则,其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】试题分析:因为m,/ /,所以,m,又l,所以, ml
3、.正确;因为m,所以m/ /或m,又l,所以/ /ml或,m l相交4或,m l互为异面直线. 不正确;因为m,ml,所以l,又l,所以,故不正确,正确. 选B.考点:平行关系,垂直关系.7.已知圆221Oxy及以下三个函数:3( )f xx;( )tanf xx;( )sinf xxx其中图象能等分圆O面积的函数个数为( )A3 B2 C1 D08.双曲线1C的中心在原点,焦点在x轴上,若1C的一个焦点与抛物线2C:212yx的焦点重合,且抛物线2C的准线交双曲线1C所得的弦长为 43,则双曲线1C的实轴长为( )A6 B26 C3 D2 3【答案】D【解析】试题分析:设双曲线1C的方程为2
4、2221xy ab(0,0)ab.由已知,抛物线2C的焦点为(3, 0),准线方程为x=-3,即双曲线中c=3,229ab;将-3代人双曲线方程,解得29byaa ,又抛物线2C的准线交双曲线1C所得的弦长为4 3, 所以2294 3baa与229ab联立得, 22 390aa,解得,3a ,故双曲线1C的实轴长为2 3,选D.5考点:抛物线的几何性质,双曲线的几何性质.9.下列四个图象可能是函数10ln |1| 1xyx图象的是( )10.已知函数( )sin ()f xxx xR,且22(23)(41)0f yyf xx,则当yl时,1y x的取值范围是( )A1 4,3 4 B0,3 4
5、 C1 4,4 3 D0,4 3【答案】A【解析】试题分析:因为,()sin()( )fxxxf x ,且( )1 cos0fxx ,所以函数为奇函数,且在R是增函数. 所以,由22(23)(41)0f yyf xx得2222(23)(41),2341f yyfxxyyxx .即22424)0,xyxy22(2)(1)1xy,其表示圆22(2)(1)1xy及其内部.1y x表示满足22yl(2)(1)1xy 的点P与定点( 1,0)A 连续的斜率.6结合图形分析可知,直线AC的斜率1 01 3( 1)4 最小,切线AB的斜率22122tan33tantan211tan41 ( )3PAXBAX
6、PAXPAX最大.故选A.考点:函数的奇偶性,简单线性规划,直线的斜率,直线与圆的位置关系.第卷(共 100 分)二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)11.若实数x,y满足10, 2, 3,xy x y ,则zyx的最小值是 .【答案】3【解析】试题分析:画出可行域及直线0yx,如图所示. 平移直线0yx,当其经过点(2, 1)A时,min1 23z .7考点:简单线性规划的应用12.已知tan=2,则22sin1 sin2 = .13.设 0sinaxdx,则二项式61a xx的展开式中含有2x的项是 .【答案】2192x【解析】试题分析:因为,00sincos|2
7、axdxx ,所以612 xx的展开式的通项63 61661(2)()( 1) 2rrrrrr rrxxTCxC ,令32,r得1r ,所以二项式61a xx的展开式中含有2x的项是5 12 112 6( 1) 2192TC xx ,故答案为2192x8考点:定积分计算,二项式展开式的通项公式.14.有 6 人入住宾馆中的 6 个房间,其中的房号 301 与 302 对门,303 与 304 对门,305 与 306 对门,若每人随机地拿了这 6 个房间中的一把钥匙,则其中的甲、乙两人恰好对门的 概率为 .15.在实数集 R 中,我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序” 类似的,我们在平
8、面向量集 D=a|a( , ),R,Rx y xy上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“” 定义如下:对于任意两个向量111)222()axy axy , 1a 2a ,当且仅当“12xx”或“12xx且12yy” 按上述定义的关系“” ,给出如下四个命题:若12(1 0)(01) 0 (0 0)ee ,则120ee ,12aa ,23aa ,则13aa ;若12aa ,则对于任意aD , 12aaaa ;对于任意向量00 00,a ,若12aa ,则12a aa a 其中真命题的序号为 .【答案】【解析】试题分析:由已知,若12(1 0)(01) 0 (0 0)ee ,则120ee ,故正
9、确;9(4)设111222()axyaxy ,),()axy ,由0,a 得“x0”或“x0y0“ 且由12aa ,得“12xx”或“12xx=且12yy “.若1212“x0y0“xxyy “ 且且且,则1212“xxxxyyyy “且,所以12a aa a 不成立不正确.综上所述,正确.考点:新定义问题,平面向量的坐标运算.三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分)已知m=(2cos2 3sin ,1)xx,n=(cos ,)xy,满足0m n(1)将y表示为x的函数( )f x,并求( )f x的最小正周期;
10、(2)已知 a,b,c 分别为ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长,( )(R)f x x的最大值是()2Af,且a=2,求b+c的取值范围10(2)由题意得()32Af,所以2)(62AkZk,因为0A,所以3A 8 分由正弦定理得43sin3bB,43sin3cC, 4 34 3sinsin33bcBC4 34 32sinsin()4sin()3336BBB, 10 分32, 0B,1sin()( 162B,4 , 2(cb,所以bc的取值范围为(2,4. 12 分考点:平面向量的坐标运算,和差倍半的三角函数,正弦定理的应用,三角函数的性质.1117.(本小题满分 12 分)已知数列
11、an前n项和为Sn,首项为a1,且1 2,an,Sn成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)数列bn满足221223(log) (log)nnnbaa,求证:12311111.2nbbbb当2n 时,122nnSa,11122nnSa,两式相减得:1122nnnnnaSSaa,12nna a, 4 分所以数列 na是首项为1 2,公比为 2 的等比数列,12 122nn naa. 6 分1218.(本题满分 12 分)PM25 是指大气中直径小于或等于 25 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大。我国 PM25 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM25
12、日均值在 35 微克立方米以下空气质量为一级;在 35 微克立方米75 微克立方米之间空气质量为二级;在 75 微克立方米以上空气质量为超标某市环保局从 360 天的市区 PM25 监测数据中,随机抽取 l5 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)(1)从这 l5 天的数据中任取 3 天的数据,记表示空气质量达到一级的天数,求的分布列;(2)以这 l5 天的 PM25 日均值来估计这 360 天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气质量达到一级【答案】 (1)分布列为012313p 45584 455216 455135 45520(2)一年中空气质量达到一级的天数为 1
13、44 天.【解析】试题分析:(1)由 3, 6,15nMN ,的可能值为 0,1,2,3利用3 153 96)(CCCkPkk ) 3 , 2 , 1 , 0( k即得分布列:0123p 45584 455216 455135 45520(2)一年中每天空气质量达到一级的概率为52,由 52,360B , 得到14452360E(天) ,一年中空气质量达到一级的天数为 144 天.试题解析:(1) 3, 6,15nMN ,的可能值为 0,1,2,3其分布列为3 153 96)(CCCkPkk ) 3 , 2 , 1 , 0( k 3 分0123p 45584 455216 455135 45520 6 分(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为52 156p一年中空气质量达到一级的天数为则 52,360B , 所以14452360E(天) 11 分一年中空气质量达到一级的天数为 144 天 12 分考点:茎叶图,超几何分布,二项分布.19.(本小题满分 12