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1、Computational Fluid Computational Fluid DynamicsDynamics计算流体力学计算流体力学（CFDCFD）第四讲：第四讲：有限差分方法 关于一些重要概念关于一些重要概念CFD 涉及的几个方面:1、计算机技术2、流体力学知识（空气动力学）3、偏微分方程数值求解技术计算网格技术差分离散格式 差分解 广泛应用的是有限差分法、有限体积法。广泛应用的是有限差分法、有限体积法。 在离散的网格单元上对流体力学控制方在离散的网格单元上对流体力学控制方程的偏导数项进行差分近似，形成差分程的偏导数项进行差分近似，形成差分方程，求解差分方程得到数值解。方程，求解差分方程
2、得到数值解。CFDCFD课程涵盖的主要内容：课程涵盖的主要内容：vv 流动空间的离散化（网格生成）流动空间的离散化（网格生成）vv 流动控制方程的差分近似（差分方程）流动控制方程的差分近似（差分方程）vv 差分方程的求解技术差分方程的求解技术 差分方程毕竟不是原微分方程，所以必须对差分差分方程毕竟不是原微分方程，所以必须对差分解所涉及的方方面面进行理论上的把握解所涉及的方方面面进行理论上的把握有关差分格式及差分方程的一些重要概念有关差分格式及差分方程的一些重要概念如果偏微分方程的解存在且唯一，且解连如果偏微分方程的解存在且唯一，且解连续地依赖于给定的初始条件和边界条件，则问续地依赖于给定的初始
3、条件和边界条件，则问题是适定的。题是适定的。在试图得到一个数值解之前，检查问题是在试图得到一个数值解之前，检查问题是否适定非常重要。因为不正确或是不准确的边否适定非常重要。因为不正确或是不准确的边界条件及初始条件有时也会取得数值解。界条件及初始条件有时也会取得数值解。 适定性问题适定性问题差分差分方程与原微分方程相比是有所不同的方程与原微分方程相比是有所不同的。在一定的离散格式下，差分方程总对应有在一定的离散格式下，差分方程总对应有一个截断误差一个截断误差R R。如果以如果以h h表示空间方向步长、表示空间方向步长、t t表示时间方向步长。离散精度分为：表示时间方向步长。离散精度分为：一阶精度
4、：一阶精度：O(hO(h) )、O(t)O(t)二阶精度：二阶精度：O(hO(h2 2) )、O(tO(t2 2) ) 关于差分方程的精度关于差分方程的精度 关于差分方程的相容性关于差分方程的相容性 截断误差截断误差差分方程与微分方程的差别是截断误差差分方程与微分方程的差别是截断误差R R。我们。我们 希望，必要时通过缩小空间步长希望，必要时通过缩小空间步长h h和时间步长和时间步长t t，使得，使得 这一误差应可缩小至尽可能小。这一误差应可缩小至尽可能小。当当h 0h 0和和t 0t 0时，若时，若R 0R 0，则差分方程趋于微分，则差分方程趋于微分 方程，表示这两个方程是一致的，这时称该差
5、分方程方程，表示这两个方程是一致的，这时称该差分方程 与微分方程是相容的。与微分方程是相容的。检查相容性是为了保证某一格式的差分方程确是检查相容性是为了保证某一格式的差分方程确是 该微分方程的近似方程。该微分方程的近似方程。 前面我们说了差分格式及其精度要求，在数值前面我们说了差分格式及其精度要求，在数值 求解过程中差分方程若能保持格式精度，哪怕求解过程中差分方程若能保持格式精度，哪怕 只有一阶，其误差毕竟是有限的。但是有些精只有一阶，其误差毕竟是有限的。但是有些精 度分析起来很高的格式，计算出来的结果却是度分析起来很高的格式，计算出来的结果却是 完全错误的。完全错误的。差分解的收敛性与稳定性
6、差分解的收敛性与稳定性 CFDCFD理论中，只保证相容性与格式精度是理论中，只保证相容性与格式精度是 不够的。差分解中还有一些规律在起作用：不够的。差分解中还有一些规律在起作用：? ? 关于差分解的收敛性关于差分解的收敛性差分方程的截断误差差分方程的截断误差R R（是由微分方程（是由微分方程 差分差分方程时带来的误差）方程时带来的误差）若令若令U U是精确满足原微分方程的解，没有误差。是精确满足原微分方程的解，没有误差。将微分方程离散成差分方程后，方程就有了截断将微分方程离散成差分方程后，方程就有了截断误差误差R R，因此数值解也不再是，因此数值解也不再是U U，而是而是U+U+=V=V。 是
7、方程离散求解过程中带来的，称为解的离散是方程离散求解过程中带来的，称为解的离散误差。误差。 虽由截断误差虽由截断误差R R造成，但它只是解的误差，造成，但它只是解的误差，而而R R却是差分方程的误差，二者并不相同。却是差分方程的误差，二者并不相同。我们定义我们定义V V为差分方程的精确解，即在没有舍入为差分方程的精确解，即在没有舍入误差时精确的满足差分方程的解。误差时精确的满足差分方程的解。V V和和U U的差别仅仅的差别仅仅反映截断误差的影响，而没有舍入误差的影响。反映截断误差的影响，而没有舍入误差的影响。 这时，称差分方程的精确解这时，称差分方程的精确解V V收敛于微分方程的收敛于微分方程
8、的解解U U，称此差分格式为收敛的格式。称此差分格式为收敛的格式。 V V与与U U的差别是的差别是 ，我们希望，必要时，通过缩小，我们希望，必要时，通过缩小网格尺寸网格尺寸h h与时间步长与时间步长t t，不仅截断误差不仅截断误差R R，而且离散误而且离散误差差 都应缩小至尽可能的小，在求解区域内任一离散节都应缩小至尽可能的小，在求解区域内任一离散节点上，当点上，当h h 0 0和和t t 0 0时，若时，若 0 0，则则V V U U，表示这两表示这两种解的确是相符合的。种解的确是相符合的。R R是当地离散点上用差分方程代替微分方程的截是当地离散点上用差分方程代替微分方程的截断误差，只由当
9、地网格点上的泰勒级数确定；断误差，只由当地网格点上的泰勒级数确定；而离散误差而离散误差 不仅与不仅与R R有关，而且是计算过程中时有关，而且是计算过程中时空误差一步步的积累，这就是我们将截断误差与舍入空误差一步步的积累，这就是我们将截断误差与舍入误差区分开来考察的原因。误差区分开来考察的原因。R 0R 0并不意味着并不意味着 也也 0 0。相容的格式也可能不收敛，因此任何格式在检查相容的格式也可能不收敛，因此任何格式在检查了相容性之后，必须再检查收敛性。了相容性之后，必须再检查收敛性。数值计算时，除了计算机的舍入误差（字长有限数值计算时，除了计算机的舍入误差（字长有限的原因）外，初始条件或方程
10、中某些常数项也有可能的原因）外，初始条件或方程中某些常数项也有可能给的不尽精确。舍入误差和这些误差在计算过程中可给的不尽精确。舍入误差和这些误差在计算过程中可能一步步积累与传递，误差的传递，有时可能变大有能一步步积累与传递，误差的传递，有时可能变大有时可能变小。时可能变小。某一步舍入误差放大或缩小的问题，称为差分解某一步舍入误差放大或缩小的问题，称为差分解的数值稳定性问题。的数值稳定性问题。 关于差分解的稳定性关于差分解的稳定性 舍入误差舍入误差稳定性这一问题最初是用来描述物理现象的：稳定性这一问题最初是用来描述物理现象的： 物理上的稳定现象物理上的稳定现象 物理上的不稳定现象物理上的不稳定现
11、象 求解差分方程时，某一计算步的舍入误差对其后求解差分方程时，某一计算步的舍入误差对其后各步的影响若逐步缩小或保持有界，则称数值解是稳各步的影响若逐步缩小或保持有界，则称数值解是稳定的，也称该差分格式是稳定的；若逐步放大，则称定的，也称该差分格式是稳定的；若逐步放大，则称数值解不稳定的，也称该格式不稳定的。数值解不稳定的，也称该格式不稳定的。这种稳定性是数值误差的缩小或放大，故称为数这种稳定性是数值误差的缩小或放大，故称为数值稳定性问题。值稳定性问题。稳定的格式只是说明，一旦某步有了舍入误差，它稳定的格式只是说明，一旦某步有了舍入误差，它对其后各步的影响将逐步缩小或保持有界。对其后各步的影响将
12、逐步缩小或保持有界。实际上，每步还会产生自己当地新的舍入误差。总实际上，每步还会产生自己当地新的舍入误差。总舍入误差一般比当地的舍入误差大。积累的结果总是使舍入误差一般比当地的舍入误差大。积累的结果总是使总舍入误差更大。总舍入误差更大。稳定的格式，应能估计误差的最坏的可能组合。稳定的格式，应能估计误差的最坏的可能组合。不稳定的格式会使某一步的舍入误差逐步放大，因不稳定的格式会使某一步的舍入误差逐步放大，因而不能使用。而不能使用。 收敛性与稳定性是两个不同的概念，分别属于方收敛性与稳定性是两个不同的概念，分别属于方程离散过程中和上机计算过程中的两个不同环节。只程离散过程中和上机计算过程中的两个不
13、同环节。只有既收敛又稳定的格式才能得到有用的结果。有既收敛又稳定的格式才能得到有用的结果。有的格式的稳定性很容易检验，而收敛性却很难有的格式的稳定性很容易检验，而收敛性却很难判断。另一些格式则收敛性容易检验而稳定性很难判判断。另一些格式则收敛性容易检验而稳定性很难判断。这直接妨碍了对差分格式的全面判断。断。这直接妨碍了对差分格式的全面判断。 关于收敛性与稳定性的关系关于收敛性与稳定性的关系在实践中，收敛性与稳定性往往联系在一起。在实践中，收敛性与稳定性往往联系在一起。在定理所述条件下，只需证明稳定，便知它是在定理所述条件下，只需证明稳定，便知它是收敛的；只需证明收敛，便知它是稳定的。收敛的；只
14、需证明收敛，便知它是稳定的。避开了既需独立证明稳定，又需独立证明收敛避开了既需独立证明稳定，又需独立证明收敛的困难。的困难。LAXLAX等价定理：等价定理：对适定的线性初值问题来说，如果差分方程与对适定的线性初值问题来说，如果差分方程与微分相容，则稳定是收敛的充分必要条件。微分相容，则稳定是收敛的充分必要条件。LAXLAX等价定理只适用于线性问题，对于非等价定理只适用于线性问题，对于非线性问题，则尚未找到相应规律。线性问题，则尚未找到相应规律。任何差分格式，应尽量证明了它的收敛性任何差分格式，应尽量证明了它的收敛性与稳定性之后，再去使用。与稳定性之后，再去使用。判断收敛性的方法：判断收敛性的方
15、法：1 1、直接检验法、直接检验法2 2、数值试验法、数值试验法3 3、收敛性可借、收敛性可借LAXLAX等价定理来间接判断等价定理来间接判断判断稳定性的方法：判断稳定性的方法：1 1、直观试验法、直观试验法2 2、vonvon NeumannNeumann的傅立叶谐波分析法的傅立叶谐波分析法3 3、稳定性分析的矩阵方法、稳定性分析的矩阵方法一个差分格式是否具有收敛性有它本一个差分格式是否具有收敛性有它本身深刻的物理根源，即差分格式的身深刻的物理根源，即差分格式的“信息信息依赖域依赖域”是否正确。是否正确。流体力学流动方程复杂，稳定条件常流体力学流动方程复杂，稳定条件常常很难判断。可以试着分析它的信息依赖常很难判断。可以试着分析它的信息依赖 域，先判断它的收敛性，再借助域，先判断它的收敛性，再借助LAXLAX等价等价定理来间接判断稳定性。定理来间接判断稳定性。若一个差分方程里只有一个未知数，可以很若一个差分方程里只有一个未知数，可以很明显地求出解来，则称为显式差分格式。明显地求出解来，则称为显式差分格式。若一个差分方程里有两个或两个以上的未知若一个差分方程里有两个或两个以上的未知数，就不能十分明显地求出解来，而需求解联立数，就不能十分明显地求出解来，而需求解联立 方程，则称为隐式差分格式。方程，则称为隐式差分格式。 关于显式格式与隐式格式关于显式
