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1、高等代数喀什大学数学与统计学院 汪仲文 2 2 映射映射 3 3 整数的整除性质整数的整除性质 4 4 数环与数域数环与数域 1 1 集合集合第0章 基本概念小结与习题小结与习题 5 5 连加号与连乘号连加号与连乘号把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C 等表示集合；当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作： ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作： 1 1、定义、定义组成集合的这些事物称为集合的元素 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素 1 1 集合集合关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托
2、尔（GCantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性. 注:集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例1例2 N ，2Z 例3Mx | x具有性质P Ma1，a2，an2 2、集合间的关系、集合间的关系 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作 ，（读作B包含于A）当且仅当 空集：不含任何元素的集合，记为注意： 如果A、B两集合含有完全相同的
3、元素，则称 A与B相等，记作AB .AB当且仅当 且 约定： 空集是任意集合 的子集合.3 3、集合间的运算、集合间的运算交： ； 并： 性质：差： 积： 例如，若则，1、证明等式: 证：显然， 又 ， ，从而, 练习： 故等式成立2、已知 ， 证明： 又因 ， 又因 ， 证：1）此即，因此无论哪一种情况，都有 .此即， 但是2 2 映射映射设M、M是给定的两个非空集合，如果有 一个对应法则，通过这个法则对于M中的每一个元素a，都有M中一个唯一确定的元素a与它对应, 则称 为称 a为 a 在映射下的象，而 a 称为a在映射下的M到M的一个映射，记作 : 或原象，记作(a)a 或1 1、定义、定
4、义 设映射 , 集合称之为M在映射下的象，通常记作 Im 集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换 显然， 注注 例4 判断下列M 到M 对应法则是否为映射 1）Ma，b，c、M1,2，3,4 ：(a)1，(b)1，(c)2 ：(a)1,(b)2,(c)3,(c)4：(b)2，(c)4 （不是） （是） （不是） 2）MZ，MZ，：(n)|n|, ：(n)|n|1, （不是） （是） ：(a)a0， 4）MP，M ，（P为数域）：(a)aE， （E为n级单位矩阵）5）M、M为任意两个非空集合，a0是M中的一个固定元素. （是）（是）6）MMPx（P为数域） ：(f (x)f (x)， （是）
5、3）M ，MP，（P为数域） ：(A)|A|， （是） 例5 M是一个集合，定义I： I(a)a ，即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射，例6 任意一个在实数集R上的函数 yf(x) 都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是称 I 为 M 上的恒等映射或单位映射 映射的一个特殊情形 2 2、映射的乘积、映射的乘积设映射 ， 乘积定义为： (a)(a) 即相继施行和的结果， 是 M 到 M“ 的一个 映射 对于任意映射 ，有 设映射， 有注：注：3 3、映射的性质、映射的性质: :设映射1）若，即对于任意，均存在（或称 为映上的）； 2）若M中不同元素的象也不同，即 （或），
6、则称是M到M的一个单射（或称为11的）； 3）若既是单射，又是满射，则称为双射,，使 ，则称是M到M的一个满射（或称为 11对应） 例7 判断下列映射的性质1）Ma，b，c、M1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不单射， 也不是满射） ：(a)3，(b)2，(c)1 2）M=Z，MZ，：(n)|n|1,（是满射，但不是单射） （双射）：(a)a0，（既不单射，也不是满射） 3）M、M为任意非空集合， 为固定元素 4）M是一个集合，定义I： I(a)a， 5）M=Z，M2Z， ：(n)2n,（双射） （双射） 对于有限集来说，两集合之间存在11对应的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
7、 对于有限集A及其子集B，若BA（即B为A的真子集），则 A、B之间不可能存在11对应；但是对于无限集未必如此.注：注：如例7中的5），是11对应，但2Z是Z的真子集 M=Z，M2Z， ：(n)2n,4 4、可逆映射、可逆映射定义定义：设映射若有映射使得则称为可逆映射，为的逆映射， 若为可逆映射，则1也为可逆映射，且（1）1注：注：为可逆映射，若的逆映射是由唯一确定的记作1 为可逆映射的充要条件是为双射证：若映射为11对应，则对均存在唯一的，使(x)y，作对应 即； 即为可逆映射 则是一个M到M的映射, 且对 即, 所以为满射. 其次，对，则 即为单射.所以为双射反之，设 为可逆映射，则 练习
8、：练习：1. 找一个R到R的双射，规定解：则 是R到R的一个映射.若，则， 是单射 ，存在，使故 是双射 是满射 2、令，问：1）g 是不是R到R的双射？g 是不是 f 的逆映射？ 2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆 解：1）g是R到自身的双射 ，若 ，则 ，g是单射 并且 ，即g是满射 又 ， ， g不是 f 的逆映射 事实上， 2）g是可逆映射3、设映射，证明：1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射；2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射；3）如果 f、g 都是双射，那么 h 也是双射，并且这与h是单射矛盾， f 是单射证：1）若 f 不是单射，则存在于是有2） h 是满射，即，
9、g 是满射又3） ，因为 g 是满射，存在 ,使又因为 f 是满射，存在 ，使h是满射若，由于 f 是单射，有又因为 g 是单射，有即,因而 h 是双射h 是单射.5 5、代数运算、代数运算定义定义：设A,B,D是集合，一个 的映射叫做一个 的代数运算。 特别的，特别的，一个 的映射，叫做集合A 的一个代数运算。 1 、整除的概念带余数除法定义1 设a，b是整数，b 0，如果存在整数q，使得 a = bq （1） 成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的因数（约 数或除数），并且使用记号ba；如果不存在整数q使 得a = bq成立，则称a不被b整除，记为b a。显然每个非零整数a都有约数
10、1，a，称这四个数 为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇 数。3 3 整数的整除性质整数的整除性质定理1 下面的结论成立：() ab ab；() ab，bc ac；() bai，i = 1, 2, , k ba1x1 a2x2 akxk，此处，xi（i = 1, 2, , k）是任意的整数；() ba bcac，此处c是任意的非零整数；() ba ，a 0 |b| |a|；ba且|a| r1 r2 ，所以式(1)中只包含有限个等式。辗转相除法（Euclid算法）推论1.1 若a, b是任意两个不全为零的整数，则存在 两个整数s，t，使得a
11、s bt = (a, b) 。定理6 若a, b , c是三个整数，且 (a, c) = 1，则(i) ab ，c与b，c有相同的公因数，(ii) (ab, c) = (b, c),上面假定了b,c至少有一个不为零。 定理5 使用式(1)中的记号，有rn = (a, b)。推论2.1 对于任意的整数a，b，c，若(a, c) = 1, cab, 则 cb.推论2.2 若 (a, bi) = 1，1 i n，则(a, b1b2bn) = 1。推论2.3 若 (ai, bj) = 1，1 i n， 1 j m，则(a1a2 an, b1b2bm) = 1。3 、最小公倍数定义1 整数a1, a2,
12、 , ak的公共倍数称为a1, a2, , ak的公倍数。a1, a2, , ak的正公倍数中的最小的一个叫做a1, a2, , ak的最小公倍数，记为a1, a2, , ak。定理1 下面的等式成立：() a, 1 = |a|，a, a = |a|；() a, b = b, a；() a1, a2, , ak = |a1|, |a2| , |ak|；() 若ab，则a, b = |b|。定理2 对任意的正整数a，b，有a, b = 。推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除。这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最 小的正倍数，而且是另外的公倍数的因数。推论2 设m，a，b是正整数，则ma, mb = ma, b。定理3 对于任意的n个整数a1, a2, , an，记 a1, a2 = m2，m2, a3 = m3，mn2, an1 = mn1， mn1,
